Question

Mostre por indução, a validade das seguintes fórmulas: ​

Answer 1

5)

a) Seja p(n) a proposição:

${1}^{3} + {2}^{3}+{3}^{3} + ... + {n}^{3} \\ = {( \frac{n(n + 1)}{2} )}^{2}$

testemos p (1):

${1}^{3} = 1 \\ {( \frac{1.(1 + 1)}{2}) }^{2} = { (\frac{1.2}{2}) }^{2} = 1$

ou seja p (1) é verdadeiro.

Suponha que a proposição seja verdadeira para n , ou seja,

p (n):

${1}^{3} + {2}^{3} + {3}^{3} + ... + {n}^{3} \\ = {( \frac{n(n + 1)}{2}) }^{2}$

Devemos mostrar que p(n+1) é verdadeiro isto é

p(n+1):

${1}^{3} + {2}^{3} + {3}^{3} + ... + \\ {n}^{3} + {(n + 1)}^{3} \\ = [ \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} ] {}^{2}$

Demonstração:

Com efeito,

${1}^{3} + {2}^{3} + {3}^{3} + ... + \\ {n}^{3} + {(n + 1)}^{3} \\ = [ \frac{(n(n + 1)}{2} ]{}^{2} + {(n + 1)}^{3}$

$\frac{ {n}^{2} {(n + 1)}^{2} }{4} + {(n + 1)}^{3} \\ = \frac{ {n}^{2} {(n + 1)}^{2} + 4 {(n + 1)}^{3} }{4}$

$\frac{ {(n + 1)}^{2}( {n}^{2} + 4(n + 1)) }{4} \\ = \frac{ {(n + 1)}^{2}( {n}^{2} + 4n + 4) }{4}$

$\frac{ {(n + 1)}^{2} {(n + 2)}^{2} }{4} = { [ \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} ] }^{2}$

= p (n+1)

portanto a p (n+1) é verdadeiro ■.