• Matéria: Matemática
  • Autor: cze4086
  • Perguntado 7 anos atrás

No intervalo {x e R / 0 ≤ x ≤ 2pi }, a equação cos²x = 1/2|cosx| tem seis raízes

Por que é verdadeiro?

Respostas

respondido por: trindadde
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Resposta:

S=\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\}.

Explicação passo-a-passo:

Olá!

       Lembre da definição de módulo de um número real x, como a seguir:

|x|=\bigg{\{}\begin{array}{rcr}x,&\text{se }&x\geqslant 0\\ -x,&\text{se }&x<0 \end{array}.

Logo,

se tivermos   \cos{x}\geqslant{0},  ou seja,  x\in\left[\frac{3\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right],   então

                      |\cos{x}|=\cos{x}.

Já se ocorrer   x\in\left]\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}\right[{\;},   então

                      |cos{x}|=-\cos{x}.

     Com isso em mente, segue que

  • Caso 1:   \cos{x}\geqslant{0}

\cos^2x=\dfrac{1}{2}\cos{x}\Leftrightarrow \cos^2x-\dfrac{1}{2}\cos{x}=0\Leftrightarrow \cos{x}\left(\cos{x}-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow \\ \\ \\\Leftrightarrow \cos{x}=0\;\text{ou}\;\cos{x}-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow \cos{x}=0\;\text{ou}\;\cos{x}=\dfrac{1}{2}.\\ \\\text{Como $x\in\left[\frac{3\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right]$, ent\~ao}\\ \\x=\dfrac{3\pi}{2}\;\text{ou}\;x=\dfrac{\pi}{2}\;\text{(para que se tenha $\cos{x}=0$) ou ainda }\\ \\

x=\dfrac{\pi}{3}\;\text{ou}\;x=\dfrac{5\pi}{3}\;\text{$\left(\text{para que se tenha $\cos{x}=\frac{1}{2}$}\right)$}.

   Então até aqui já temos 4 soluções. Vejamos o segundo caso:

  • Caso 2: \cos{x}<0

\cos^2x=\dfrac{1}{2}\cdot(-\cos{x})\Leftrightarrow\cos^2x+\dfrac{1}{2}\cos{x}=0\Leftrightarrow \cos{x}\left(\cos{x}+\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow\\ \\ \\\Leftrightarrow \cos{x}=0\;\text{ou}\;\cos{x}=-\dfrac{1}{2}.\\ \\\text{Note que agora temos $\cos{x}<0\Leftrightarrow x\in\left]\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}\right[$ . Ou seja, n\~ao ocorre}\\ \text{o caso $\cos{x}=0$. Logo, teremos que }\\ \\\cos{x}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}\;\text{ou}\;x=\dfrac{4\pi}{3}.

   E, assim, temos as 6 soluções. Pode-se dizer que o conjunto S das soluções desta equação é, portanto,

S=\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\},

no intervalo   [0,\;2\pi].

Bons estudos!


cze4086: Acho que quando fui fazer acabei confundindo Sen com Cos kkkkk muito obrigado
trindadde: Por nada! Ficou clara a resolução? Qualquer coisa, pode perguntar. Abraço!
cze4086: Sim, perfeita, meu erro foi só na hora de encontrar os ângulos mesmo, ao invés de Cos eu coloquei Sen aí achei 7 raízes kkk errei de bobeira
trindadde: Ah, acontece rsrsrs
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