Question

Determine x tal que log3 9x + log9 3x = 4

Answer 1

Resposta:

x=3

Explicação passo-a-passo:

$log_{3}9x+log_{9}3x=4$

Aplicando as propriedades de mudança de base e logaritmo de potência:

$log_{b}a=\frac{log_{c}a}{log_{c}b} \\\\log_{b}m^{n}=n.log_{b}m\\\\\\log_{9}3x=\frac{log_{3}3x}{log_{3}9}=\frac{log_{3}3x}{log_{3}3^{2}}=\frac{log_{3}3x}{2.log_{3}3}=\frac{log_{3}3x}{2}$

$log_{3}9x+log_{9}3x=4\\\\log_{3}9x+\frac{log_{3}3x}{2}=4$

Aplicando a propriedade de logaritmo de um produto:

$log_{b}(m.n)=log_{b}m+log_{b}n\\\\\\log_{3}9x+\frac{log_{3}3x}{2}=4\\\\log_{3}9+log_{3}x+\frac{1}{2}.log_{3}3+\frac{1}{2}.log_{3}x=4\\\\log_{3}3^{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.log_{3}x=4\\\\\frac{5}{2}+\frac{3}{2}.log_{3}x=4\\\\\frac{3}{2}.log_{3}x=\frac{3}{2}\\\\log_{3}x=1\\\\3^{1}=x \Rightarrow x=3$

Answer 2

$Log_{3}9x+Log_{9}3x=4$

$Log_{3}9+Log_{3}x+Log_{3^2}3x=4$

$\frac{1}{2}Log_{3}3x+Log_{3}x+2=4$

$\frac{1}{2}(Log_{3}3+Log_{3}x)+Log_{3}x+2=4$

$\frac{1}{2}(Log_{3}3+Log_{3}x)+Log_{3}x+2=4$

Nota:

O logaritmo de um produto é a soma do logaritmo dos factores do produto:

Ex: log(b,c•d)=log(b,c)+log(b,d)

$\frac{1}{2}(Log_{3}x+1)+Log_{3}x+2=4$

Nota:

→ O logaritmo pars base 3 de 3 é 1.

$1log_{3}x+2log_{3}x+1.1+4=8$

$Log_{3}x+2Log_{3}x+1+4=8$

${\color{blue}{X = 3}}$