Question

Uma das assíntotas da hipérbole H é a reta s : 2x − y = 1 e sua reta não focal é a
reta r : y − 1 = 0. Além disso, o ponto P= ( 1+√5,7) pertence à hipérbole. Encontre a equação da hipérbole e da outra assíntota e faça um esboço da hipérbole contendo todos os seus elementos tais como o centro, os vértices, as extremidades do eixo imaginário, os focos, a reta focal, e as assíntotas.

Answer 1

Temos que equação da hipérbole é $\frac{(y-1)^2}{16}-\frac{(x-1)^2}{4}=1$ e a equação da outra assíntota é y = -2x + 3.

Como o eixo imaginário é y = 1 e uma das assíntotas é 2x - y = 1, então temos que a interseção será o centro:

2x - 1 = 1

2x = 2

x = 1

ou seja, o centro da hipérbole é C = (1,1).

A equação da assíntota é da forma (y - y₀) = a/b(x - x₀), sendo x₀ e y₀ as coordenadas do centro.

Então,

y - 1 = a/b(x - 1).

De 2x - y = 1, temos que:

2x = y + 1

2x - 2 = y + 1 - 2

2(x - 1) = y - 1.

Comprando as duas equações acima:

a/b = 2

a = 2b.

O eixo real da hipérbole é a reta x = 1. Então, a equação da hipérbole é da forma $-\frac{(x-1)^2}{b^2}+\frac{(y-1)^2}{a^2}=1$.

Como o ponto P pertence à hipérbole e a = 2b, temos que:

$\frac{(7-1)^2}{(2b)^2}-\frac{(1+\sqrt{5}-1)^2}{b^2}=1$

$\frac{36}{4b^2}-\frac{5}{b^2}=1$

36 - 20 = 4b²

16 = 4b²

b = 2 e a = 4.

Portanto, a equação da hipérbole é $\frac{(y-1)^2}{16}-\frac{(x-1)^2}{4}=1$.

Os outros elementos são: Os vértices da hipérbole são: V' = (1,-3) e V'' = (1,5). Já os focos são F' = (1,1-√20) e F'' = (1,1+√20). Já a outra assíntota é y = -2x + 3.