Question

(Cefet-RJ) Para qual valor de "a" a equação (x-2)(2ax-3)+(x-2).(-ax+1)=0 tem duas raízes reais e iguais?
a)-1
b)0
c)1
d)2
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Answer 1

Resposta:

a=1. Letra c.

Explicação passo-a-passo:

Antes de procurar os valores pelos quais as duas raízes reais são iguais devemos simplificar a expressão algebricamente. Com isso devemos agrupar os termos semelhantes da seguinte maneira.

$(x-2)(2ax-3-ax+1)=0$

$(x-2)(ax-2)=0$

Depois devemos calcular o polinômio resultante desse produto de monômios.

$ax^2-(2a+2)x+4=0$

Encontramos, então uma equação de grau 2. Note que se o valor de a fosse 0 não seria mais uma equação de grau 2. Caso o valor de a seja -1 teriamos

$x^2-4=0$

Que é o mesmo que uma diferença de quadrados que terão como soluções 2 e -2. O que não atende ao enunciado. Testando o 1 vamos verificar que ele é a única alternativa que faz com que as duas soluções reais sejam iguais.

Calculando ainda o valor do discriminante Δ, teremos que

$(-2a-2)^2 - 4\cdot a\cdot 4=4a^2+8a+4$

Para que as duas soluções sejam iguais necessitamos que o valor do discriminante seja zero. Com isso temos

$4a^2-8a+4=0\\\\a^2-2a+1=0\\\\(a-1)^2=0$

que tem como solução a=1.