Question

O volume de uma pirâmide hexagonal regular é 192√3dm³ e a altura mede 8 dm. Calcule sua área lateral.

Answer 1

Área lateral vale 24√19 dm².

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos analisar que o volume da piramide é área da base vezes altura, e já temos o volume e a altura, então podemos descobrir área da base:

V = Ab . h

192√3 = Ab . 8

Ab = 24√3 dm²

Agora temos a á rea do hexagono regular. Nos sabemos também que hexagonos regular tem uma formula para se calcular a área com base da medida dos lados:

$A=6\frac{l²\sqrt{3}}{4}$

E como já sabemos o valor da área:

$24\sqrt{3}=6\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

$24=6\frac{l^2}{4}$

$l^2=16$

$l=4$

Então agora sabemos que o lado do hexagono mede 4 dm.

Agora vamos analisar a figura em anexo, podemos ver nela que é adistancia do centro do hexagono até as vertices vale o mesmo que o lado, logo, vale 4 dm também. E agora vamos precisar de ainda mais imaginação para enxergar o seguinte:

Pense na piramide como um todo, a altura da piramide vem do ponto mais alto desta, descendo reto e faz um angulo de 90º com a base, enconstando exatamente no centro da base. Repare que se você pegar a altura, mais a distancia do centro da base até o vertice, e uma das arestas laterais da piramide, estes formam, um trinagulo retangulo, onde a aresta lateral é a hipotenusa, então:

AL² = h² + a²

AL² = 8² + 4²

AL² = 80

AL = 4√5 dm

Agora vejamos a outra imagem em anexo, a que representa um triangulo. Esta imagem é um dos lados da piramide, agora que descobrimos o valor das arestas, podemos calcular a área dos triangulos nas laterais, mas para isso temos que encontrar o valor da altura deste triangulo com pitagoras:

(4√5)² = h² + 2²

80 = h² + 4

h² = 76

h = 2√19 dm

Agora, sabemos que área do triangulo é base vezes altura sobre 2:

At = 4 . 2√19 / 2 = 4√19 dm²

Agora basta multiplicar este valor por 6, pois a piramide possui 6 lados identicos a este na lateral:

Al = 6 . 4√19

Al = 24√19 dm²