A função custo marginal c'(x) é definida como a derivada da função custo. Se o custo marginal para produzir x metros de um tecido é c'(x)= 5-0,008+0,0000009x^2 ( medido em dólares por metro) e o custo fixo é C(0)=$20000, determine:
A)- Função custo c(x).
B)- O custo para produzir as primeiras 2000 unidades.

Respostas

respondido por: NessaCalazans

Resposta:

A) C (x)= x - 0,004 x^2 + 0, 000003 x^3 + C

B) C (2000) = R$ 120 000,00

Explicação passo-a-passo:

A) Primeiro devemos integrar a função custo marginal C'(x), para assim achar a função C (x):

$C (x)= \int\limits {5-0,008+0,0000009x^2 } \, dx\\ \\C (x)= x - 0,008\frac{x^2}{2} +0,0000009\frac{x^3}{3} \\\\C (x)= x - 0,004{x^2}+0,0000003{x^3} + C$

B) Após encontrar a função C(x) na questão anterior, devemos usá-la para calcular o custo para se produziras primeiras 2000 unidades. Então é só substituir os x da função por 2000, lembrando que no exercício diz que o custo fixo é $20 000:

$C (2000) =x - 0,004 x^2 + 0, 000003 x^3 + C\\C (2000) =2000 - 0,004 (2000^2) + 0, 000003 (2000^3) + 20 000$

C (2000) =2000 - 16 000 + 24 000 + 20 000

C (2000) = R$ 120 000,00

respondido por: vinicaetano98

Item A)

A função do c(x) é igual a $C(x)=5x-0,004x^{2}+0,0000003x^{3}+Cte$ , essa função representa o custo de produção de x metros de tecido.

Como a derivação e integração são duas funções inversas, para determinar a função custo devemos calcular a integral da equação do custo marginal.

Logo temos:

$C(x)=\int\ {(5-0,008x+0,0000009x^2)} \, dx$

Aplicando a regra da integral de uma potência:

$C(x)=\int\ {(\dfrac{5x^{0+1}}{0+1}-\dfrac{0,008x^{1+1}}{1+1}+\dfrac{0,0000009x^{2+1}}{2+1})} \, dx \\\\\\C(x)=5x-\dfrac{0,008x^{2}}{2}+\dfrac{0,0000009x^{3}}{3}+Cte$

Simplificando, temos:

$C(x)=5x-0,004x^{2}+0,0000003x^{3}+Cte$

Item B)

O custo de produção de 2.000 unidades de tecido é igual a 16.400 dólares.

Primeiramente, devemos determinar o valor da constante da função custo obtida no item A. Como Sabemos que em x igual a zero o custo de produção é igual a $20.000 conseguimos calcular o valor da constante.

Para produzir 0 unidades temos x = 0, logo:

$C(x)=5x-0,004x^{2}+0,0000003x^{3}+Cte ~~~c(0)=20.000\\\\\\20.000=5\cdot 0-0,004\cdot(0)^{2}+0,0000003\cdot(0)^{3}+Cte\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}Cte=20.000\end{array}}\end{array}}$

Portanto, a função completa do custo de produção é igual a:

$C(x)=5x-0,004x^{2}+0,0000003x^{3}+20.000$

Para produzir 2000 unidades temos x =2.000, logo:

$C(2.000)=5\cdot(2.000)-0,004\cdot(2.000)^{2}+0,0000003\cdot(2.000)^{3}+20.000\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}C(2.000)=16.400\end{array}}\end{array}}$