Question

Seja V=R² o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:

Answer 1

Pode-se dizer que V é um espaço vetorial.

De acordo com as regras para adição e multiplicação indicadas no enunciado para este espaço vetorial, teremos que:

--> espaço vetorial no plano R².

a)

Multiplicação:

αu= 3* (-1,2)

αu= (3 * (-1) + 2* 3 + 2,3 * 2 -3 +1 ) = (5,4)

Adição:

u + v= (-1,2) + (1, -2)= (3,0)

b) Cálculo do vetor nulo:

Sendo u = (x.y):

u - u = (x,y) - (x,y) = (x - x + 2, y - y - 1) = (2,-1)

Nesse espaço V, o vetor nulo será diferente de (0,0).

c)  COmo a = -1

Sendo u = (x,y):

-u = (-1)u = (-x -2 -2, -y +1 +1) = (-x-4, -y+2)

d)

u + (-u) = (x,y) + (-x-4, -y+2) = (x - x - 4 + 2, y - y + 2 -1) = (-2, 1)

Que é igual a menos o vetor (u-u), logo u + (-u) = 0

e) Verificando se V é um espaço vetorial:

Sendo u = (a, b), v = (c, d) e w = (e, f):

A1)

u + (v + w) = u + (c + e + 2, d + f - 1) = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

(u + v) + w = (a + c + 2, b + d - 1) + w = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

--> são iguais.

A2)

u + v = (a + c + 2, b + d - 1)

v + u = (a + c + 2, b + d - 1)

--> são iguais ;

A3)

u + 0 = (a,b) + (-2,1) = (a - 2 + 2, b + 1 - 1) = (a,b) = u

--> verdadeiro.

A4)

u + (-u) = 0,

--> verdadeiro.

M1)

k(u+v) = k(a + c + 2, b + d - 1)

= (ka + kc + 2k + 2k - 2, kb + kd - k - k + 1)

= (ka + kc + 4k - 2, kb + kd - 2k + 1)

Para ku e kv:

ku = (ka + 2k - 2, kb - k + 1)

kv = (kc + 2k - 2, kd - k + 1)

*(ku) + (kv):

(ku) + (kv) = (ka + kc + 4k - 4 + 2, kb + kd  - 2k + 2 - 1) = (ka + kc + 4k + 2, kb + kd - 2k + 1)

--> verdadeiro.

M2)

(gk)u = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

g(ku) = g(ka + 2k -2, kb - k + 1) = (gka + 2gk - 2g + 2g - 2, gkb - gk + g - g + 1) = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

-->  verdadeiro.

Sendo assim, como todas as condições são verdadeiras, V é um espaço vetorial.