Question

Seja V=R² o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por:

Answer 1

Aqui devemos colocar em prática as próprias regras para adição e multiplicação fornecidas pelo enunciado para este espaço vetorial.

Aqui temos um espaço vetorial no plano R².

a) Multiplicação:

$\alpha u = 3*(-1,2) = (3*(-1) + 2*3 +2, 3*2 - 3 + 1) = (5,4)$

Adição:

$u + v = (-1,2) + (1,-2) = (-1+2+2, 2 -1 -1) = (3,0)$

b) Cálculo do vetor nulo:

Sendo u = (x.y):

u - u = (x,y) - (x,y) = (x - x + 2, y - y - 1) = (2,-1)

Que é diferente do vetor (0,0). Portanto, nesse espaço V, o vetor nulo será diferente de (0,0).

c) Aqui vamos ter a = -1. Ou seja:

Sendo u = (x,y):

-u = (-1)u = (-x -2 -2, -y +1 +1) = (-x-4, -y+2)

d) Vamos utilizar o resultado de -u que achamos na letra c). Logo:

u + (-u) = (x,y) + (-x-4, -y+2) = (x - x - 4 + 2, y - y + 2 -1) = (-2, 1)

Que é igual a menos o vetor (u-u), logo u + (-u) = 0

e) Para verificar se V é um espaço vetorial, vamos analisar cada uma das 8 propriedades básicas:

Sendo u = (a, b), v = (c, d) e w = (e, f):

A1)

u + (v + w) = u + (c + e + 2, d + f - 1) = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

(u + v) + w = (a + c + 2, b + d - 1) + w = (a + c + e + 4, b + d + f - 2)

Comparando, vemos que são iguais.

A2)

u + v = (a + c + 2, b + d - 1)

v + u = (a + c + 2, b + d - 1)

Comparando, são iguais também;

A3)

u + 0 = (a,b) + (-2,1) = (a - 2 + 2, b + 1 - 1) = (a,b) = u

Logo, é verdadeiro.

A4)

u + (-u) = 0, conforme vimos na letra d), logo também é verdadeiro.

M1)

k(u+v) = k(a + c + 2, b + d - 1) = (ka + kc + 2k + 2k - 2, kb + kd - k - k + 1) = (ka + kc + 4k - 2, kb + kd - 2k + 1)

Agora vamos fazer ku e kv:

ku = (ka + 2k - 2, kb - k + 1)

kv = (kc + 2k - 2, kd - k + 1)

Por fim, vamos fazer (ku) + (kv):

(ku) + (kv) = (ka + kc + 4k - 4 + 2, kb + kd  - 2k + 2 - 1) = (ka + kc + 4k + 2, kb + kd - 2k + 1)

Portanto, são iguais. Logo também é verdadeiro.

M2)

(gk)u = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

E:

g(ku) = g(ka + 2k -2, kb - k + 1) = (gka + 2gk - 2g + 2g - 2, gkb - gk + g - g + 1) = (gka + 2gk - 2, gkb - gk + 1)

São iguais, portanto é verdadeiro.

M3)

(g + k)u = ((g+k)a + 2(g+k) - 2, (g+k)b - (g+k) + 1)

E ainda:

gu = (ga + 2g - 2, gb - g + 1)

ku = (ka + 2k - 2, kb - k + 1)

gu + ku = (ga + 2g - 2 + ka + 2k - 2 + 2, gb - g + 1 + kb - k + 1 - 1) = ((g+k)a + 2(g+k) -2, (g+k)b - (g+k) + 1)

São iguais, portanto é verdadeiro.

M4)

1u = (a + 2 - 2, b - 1 + 1) = (a,b) = u

Também é verdadeiro.

Sendo assim, como todas as condições são verdadeiras, V é um espaço vetorial.

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