Question

Sobre o sistema {xy+4x=28 , {3x+2y=18
é correto afirmar que:




A) Possui duas soluções distintas com x e y inteiros

B) Possui duas soluções distintas com x e y positivos

C) Possui apenas uma soluçao com x e y racionais

D) Possui apenas uma solução com x e y positivos

E) Não possui solução real

Answer 1

Resposta:

B

Explicação passo-a-passo:

O sistema é

$\left \{ {{xy+4x=28} \atop {3x+2y=18}} \right.$

Isolamos o 2y na segunda equação:

$2y = 18-3x$          (1)

Multiplicamos a primeira equação por 2:

$x(2y) + 8x = 56$         (2)

Substituimos a equação (1) na equação (2):

$x(18-3x)+8x=56$

Desenvolvendo a última equação, obtemos

$18x-3x^2+8x=56 \implies 3x^2 -26x +56 = 0$

Chegamos em uma equação de segundo grau, da forma $ax^2+bx+c=0$, para a variável x. Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos que

$\Delta = b^2 -4ac = (-26)^2 -4\times 3\times 56 = 676 - 672 = 4$

Logo, há duas soluções para x:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-26) \pm \sqrt{4}}{2\times 3}= \frac{26 \pm 2}{6}$

Temos

$x_1 = \frac{26 + 2}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ e

$x_2 = \frac{26 - 2}{6} = \frac{24}{6} = 4$

A partir da equação (1), temos $y=\frac{18-3x}{2}$. As duas soluções distintas para x nos fornece duas soluções distintas para y:

$y_1 = \frac{18 -3x_1}{2} = \frac{18-3\frac{14}{3}}{2} = \frac{18-14}{2} =\frac{4}{2} = 2$ e

$y_2 = \frac{18 -3x_2}{2} = \frac{18-3\times 4}{2} = \frac{18-12}{2} =\frac{6}{2} = 3$

As soluções para o sistema são

$(x_1,y_1) = (\frac{14}{3},2)$ e $(x_2,y_2) = (4,3)$

Portanto, temos duas soluções distintas com x e y positivos.