Question

Seja o cubo de aresta a representado na figura. determinar: a) OA*OC b) OA*OD c)OE*OB d) |OB| e |OG| e) EG*CG f) (ED*AB)*OG g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta ;

h) o ângulo formado por duas diagonais do cubo.


Obs.: questão do livro Vetores e Geometria Analítica- Paulo Winterle, esse livro tem a resposta mas não mostra a resolução. Se alguém puder mostrar como se faz desde já agradeço.


Respostas: a)0 b)0 c)0 d) a√2 e a√3 e)a² f) (a³, a³, a³) g) arc cos √3/3≅54º44' h) arc cos (1/3)≅ 70º31'

Answer 1

Temos aqui uma questão sobre Produto Escalar.

a) OA*OC quer dizer o produto escalar entre o vetor OC e o vetor OA. Deste modo, pela fórmula:

OA*OC = (a,0,0)*(0,a,0) = a*0 + 0*a + 0*0 = 0

Vale ressaltar aqui que os vetores são baseados na figura anexada da questão, onde o cubo possui aresta no valor "a".

b) OA*OD = (a,0,0)*(0,a,a) = a*0 + 0*a + 0*a = 0

c) OE*OB = (0,0,a)*(a,a,0) = 0*a + 0*a + a*0 = 0

d) Pela fórmula do módulo de um vetor com origem na origem do sistema:

|OB|² = a² + a² = 2a²

|OB| = a√2

E também:

|OG|² = a² + a² + a² = 3a²

|OG| = a√3

e) EG*CG = (a - 0, a - 0, a - a)*(a - 0, a - a, a - 0) = (a,a,0)*(a,0,a) = a*a + a*0 + 0*a = a²

f) Vamos fazer o produto escalar que está entre parênteses primeiramente:

ED*AB = (0 - 0, a - 0, a - a)*(a - a, a - 0, 0 - 0) = (0,a,0)*(0,a,0) = 0*0 + a*a + 0*0 = a²

E, por fim, o produto externo:

(ED*AB)*OG = a²*OG = a²*(a,a,a) = (a³,a³,a³)

g) A diagonal do cubo equivale ao vetor OG = (a,a,a). Se selecionarmos a aresta OA = (a,0,0), vamos ter o produto escalar:

OG*OA = a*a + a*0 + a*0 = a²

E os módulos dos vetores serão:

|OG|² = a√3 (valor encontrado na letra d)

|OA| = a

Portanto o ângulo será:

OG*OA = |OG|*|OA|*cosθ

a² = (a√3)*a*cosθ

a² = a²(√3)cosθ

cosθ = 1/(√3) = (√3)/3

θ = arc cos (√3/3) = 54,74 º

h) A diagonal OG já possui valores conhecidos. Vamos escolher a segunda diagonal como sendo BE = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a,-a,a) e também |BE| = a√3. O produto escalar será:

OG*BE = a*(-a) + a*(-a) + a² = -a²

Portanto o ângulo será:

OG*BE = |OG|*|BE|*cosθ

-a² = (a√3)²*cosθ

-a² = a²*3cosθ

-1 = 3cosθ

cosθ = -1/3

θ = arc cos (-1/3) = arc cos(1/3) = 70,53 º

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Answer 2

Resposta:

θ = arc cos (-1/3) = arc cos(1/3) = 70,53 º

POR QUE TIROU O NEGATIVO?

Explicação passo-a-passo: