Respostas
Vamos lá.
Veja, Mary, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para encontrar o domínio da seguinte expressão, sabendo-se que "x" não poderá assumir os valores de "-4" nem "-2", ou seja, pede-se para encontrar o domínio da função a seguir para x ≠ -4 e x ≠ -2. E veja que isso faz sentido, pois se "x" pudesse assumir os valores de "-4" ou de "-2", iríamos encontrar algo sobre zero e isso não existe. Então é bem-vinda a recomendação de que "x" deverá ser diferente de (-4) e de (-2), para que possamos trabalhar, sem sustos, com a inequação proposta e que é esta:
(x-4)/(x+2) < (x-2)/(x+4) -------- vamos passar todo o 2º membro para o primeiro, com o que ficaremos com:
(x-4)/(x+2) - (x-2)/(x+4) < 0 ---- com x ≠ -4 e x ≠ -2. ------- note que o mmc entre os denominadores será (x+2)*(x+4). Assim, utilizando-o apenas no 1º membro, iremos ficar com (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):
[(x+4)*(x-4) - (x+2)*(x-2)] / [(x+2)*(x+4)] < 0 -------- desenvolvendo os produtos indicados no numerador, iremos ficar assim:
[(x²-16) - (x²-4)]/[(x+2)*(x+4)] < 0 ------retirando-se os parênteses do numerador, iremos ficar apenas com:
[x² - 16 - x² + 4] / [(x+2)*(x+4)] < 0 ----- reduzindo os termos semelhantes no numerador, iremos ficar apenas com:
[-12] / [(x+2)*(x+4)] < 0
Agora note: no numerador ficamos com um número negativo. E o denominador, que é [(x+2)*(x+4)] deverá ser, obrigatoriamente positivo, pois o resultado tem que ser positivo (lembre-se: na divisão menos com mais dá menos). Então vamos impor que o denominador [(x+2)*(x+4)] deverá ser obrigatoriamente positivo, para que o resultado de (-12) dividido por algo positivo dê em algo negativo e diferentes de (-4) e de (-2) como já havíamos visto antes.
Para isso, vamos encontrar quais são as raízes das equações do denominador. Note que no denominador temos o produto entre as seguintes funções: f(x) = x+2 e g(x) = x+4. Então vamos encontrar as raízes de cada uma dessas funções. Depois, em função de suas raízes, estudaremos as mudanças de sinais de cada uma das equações. Assim teremos:
f(x) = x + 2 ---> raízes: x+2 = 0 ----> x = - 2
g(x) = x + 4 ---> raízes: x+4 = 0 ---> x = -4
Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações dadas em função de suas raízes. Assim teremos:
a) f(x) = x + 2 ........... - - - - - - - - - - - - (-2) + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x + 4 ........ - - - - - - - (-4) + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) (-12)/[(a*b)] < 0 ...+ + + + + (-4) - - - - (-2) + + + + + + + + + + + + + +
Como queremos que a divisão de (-12) sobre [(x+2)*(x+4)] seja negativo, então deveremos ter, obrigatoriamente, que nos guiar pelos sinais de MAIS do item "c" acima que nos fornece a divisão de (-12) por f(x)*g(x). Assim, o domínio da inequação dada será este:
x < -4 ou x > -2 ------- Esta deverá ser a resposta.
Se você quiser, também poderá apresentar o domínio da inequação do seguinte modo, o que dá no mesmo:
S = (-∞; -2) ∪ (-4; +∞) ---- A resposta também poderia ser dada desta forma.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.