O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados é ?
Respostas
Explicação passo-a-passo:
O triângulo está inscrito no círculo e um de seus lados é o próprio diâmetro. Então o triângulo é retângulo em B.
Pelo teorema de pitágoras:
AC² = AB² + BC² <=> 10² = 6² + BC² <=> BC = 8
Podemos olhar o triângulo como se a base fosse AB e a altura fosse BC.
Assim, a área do triângulo vale 8.6 = 48 cm².
Os triângulos ABO e BCO tem tanto a mesma base como a mesma altura.
Logo suas áreas são iguais.
Assim, a área de qualquer um deles é metade da área total.
Área (BCO) = 24 cm² (Resposta)
Questão 2: Notação: S = área
A área do retângulo vale 6 x 12 = 72 cm²
Como a soma das áreas dos retângulos maiores dá o total:
Sa + Sb + Sc = 72
O enunciado diz que:
Sb = Sc/2 <=> Sc = 2Sb
Sb = Sa/3 <=> Sa = 3Sb
Substituindo:
3Sb + Sb + 2Sb = 72 <=> 6Sb = 72 <=> Sb = 12 cm²
Logo Sa = 36 cm² e Sc = 24 cm²
Vamos às afirmativas:
01. Verdadeira. Falei isso lá no início.
02. Falsa. Se Sa = 36 e Sc = 24, Sa = 3/2 Sc
04. Falsa. Sa = 36 cm
08. e 16. : Precisa da figura. Usa as áreas que eu calculei e dá uma olhadinha...
Depois é só somar o valor das verdadeiras.
A área sombreada é de 12 cm².
Explicação:
Um triângulo inscrito em uma circunferência e cujo um dos lados corresponde ao diâmetro dessa circunferência é um triângulo retângulo. E a hipotenusa corresponde ao diâmetro.
Logo, B é um ângulo retângulo e AC é a hipotenusa.
Como o segmento BO parte de um dos vértices do triângulo e divide o lado oposto em duas partes iguais (já que O fica no centro, dividindo o diâmetro ao meio), BO é uma mediana.
A mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.
Assim, BO = OA = OC.
Pelo teorema de Pitágora, pode-se obter a medida BC.
BC² + AB² = AC²
x² + 6² = 10²
x² + 36 = 100
x² = 100 - 36
x² = 64
x = 8 cm
Área do triângulo ABC
A = b x h
2
A = 6 x 8
2
A = 48
2
A = 24 cm²
A mediana divide o triângulo em dois outros triângulos de áreas iguais.
Então, a área do triângulo AOC corresponde à metade da área do triângulo ABC. Logo, a área sombreada será:
As = 24
2
As = 12 cm²
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