3)Determinar as raízes ou zero de uma função do 2º grau consiste em determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano.
Considerando a função quadrática y = x² - 2x + 3
Assinale a alternativa que tem a análise correta sobre a função dada.
Alternativas:
a)O gráfico da função possui concavidade para baixo.
b)A função possui duas raízes reais iguais, x=2.
c)A função possui duas raízes diferentes, (2 e 0) .
d)O gráfico da função não intercepta o eixo x.
e)O vértice da parábola é V=(1,-2).
Respostas
Vamos lá.
Veja, Dias, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para considerar a seguinte função quadrática:
y = x² - 2x + 3 ---- e depois marcar quais as opções serão corretas quanto à equação dada.
ii) Primeiro vamos encontrar quais são as raízes dessa função. E. para isso, aplicaremos a fórmula de Bháskara, que é dada por:
x = [-b ± √(Δ)]/2a , sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, teremos:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a
Note que a função da sua questão [y = x² - 2x + 3] tem os seguintes coeficientes: a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = -2 --- (é o coeficiente de x); c = 3 ---- (é o coeficiente do termo independente). Assim, fazendo essas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:
x = [-(-2) ± √((-2)² - 4*1*3)]/2*1
x = [2 ± √(4 - 12)]/2 ----- como "4-12 = -8", teremos:
x = [2 ± √(-8)]/2 ----- note que √(-8) = √(8)*√(-1). Assim, ficaremos com:
x = [2 ± √(8)*√(-1)]/2 ------ note que √(8) = 2√(2); e √(-1) = i. Assim ficaremos com:
x = [2 ± 2√(2)*i]/2 ------ ou apenas, o que dá no mesmo:
x = = [2 ± 2i√(2)]/2 ------ simplificando-se numerador e denominador por "2", iremos ficar da seguinte forma:
x = 1 ± i√(2) -------- daqui você já conclui que as duas raízes NÃO são reais, mas complexas e iguais a:
x' = 1 - i√(2)
x'' = 1 + i√(2).
Agora note isto e não esqueça mais: quando uma equação quadrática NÃO tem raízes reais, então o seu gráfico (parábola) nem sequer intercepta o eixo dos "x".
Agora vamos responder quais das opções dadas são verdadeiras. Verificando, vemos que a única opção verdadeira é a opção "d", que diz isto:
d) O gráfico da função não intercepta o eixo dos "x" <---- Esta é a resposta. Ou seja, a única opção que está correta é a opção "d".
Note: que nenhuma outra opção dada estaria correta a não ser a da letra "d" que já vimos aí em cima. Note que ainda deríamos pensar no vértice da parábola, que sempre é dada pelo ponto V(xv; yv), em que "xv" e "yv" são, respectivamente, o "x" e o "y" do vértice da parábola. No caso, para calcularmos o "xv" e o "yv" iríamos aplicar as seguintes fórmulas:
xv = -b/2a
e
yv = - (b²-4ac)/4a
Encontrando o "x" do vértice (xv):
xv = -b/2a ------ fazendo as devidas substituições, teremos:
xv = -(-2)/2*1
xv = 2/2
xv = 1 <---- Este é o valor do "x" do vértice da parábola.
yv = - (b²-4ac)/4a ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
yv = - ((-2)² - 4*1*3)/4*1
yv = - (4 - 12)/4 ------ como "4-12=-8", teremos:
yv = - (-8)/4 ------ retirando-se os parênteses, ficaremos com:
yv = 8/4
yv = 2 <--- Este é o valor do "y" do vértice (yv).
Assim, o vértice da parábola da equação da sua questão será:
V(1; 2) <---- Este é o vértice da parábola da equação da sua questão. Logo é diferente da que foi dada nas opções, pelo que nos faz afirmar, ainda com maior reforço, que a única opção correta dentre as várias dadas é realmente apenas a que está no item "d".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.