Obtenha o valor real de a para que o número complexo (observe a imagem) seja real
Respostas
Resposta: a = 2 (dois)
Explicação passo-a-passo:
Seja o número complexo z = a + bi (ou z = x + yi), dizemos que z é real (complexo real), quando a sua parte imaginária Im(z) = b (coeficiente da unidade imaginária i; ou Im(z) = y = 0, dependendo da notação) for igual a zero, ou seja, Im(z) = b = 0 (ou Im(z) = y = 0). Também é dito que o complexo z é imaginário puro, quando a sua parte real Re(z) = a (ou Re(z) = x) for igual a zero, ou seja, Re(z) = a = 0 (ou Re(z) = x = 0). Com isso, basta multiplicarmos ambos os termos da fração (numerador e denominador) pelo conjugado do complexo-denominador, tal como fazemos para dividir complexos escritos na forma algébrica (z = a + bi ou z = x + yi). Assim sendo, temos:
z = (2 + i)/(a + i) =>
z = [(2 + i)/(a + i)][(a - i)/(a - i)] =>
z = (2 + i)(a - i)/(a + i)(a - i) =>
z = (2 + i)(a - i)/(a² - i²) =>
z = (2a - 2i + ai - i²)/[a² - (- 1)] =>
z = [2a - 2i + ai - (- 1)]/(a² + 1) =>
z = [2a + 1 + i(a - 2)]/(a² + 1) =>
z = (2a + 1)/(a² + 1) + i(a - 2)/(a² + 1) =>
z = (2a + 1)/(a² + 1) + [(a - 2)/(a² + 1)]i
No complexo z acima, temos Re(z) = (2a + 1)/(a² + 1) e Im(z) = (a - 2)/(a² + 1). Para que z seja real, deve-se ter Im(z) = 0, o que acarreta a seguinte equação:
Im(z) = 0 e Im(z) = (a - 2)/(a² + 1) =>
(a - 2)/(a² + 1) = 0 =>
(a² + 1)[(a - 2)/(a² + 1)] = 0(a² + 1) =>
a - 2 = 0 =>
a = 2 (dois)
O valor de a é o número natural 2 (todo natural é também real).
Abraços!