Question

02 (CMBR-2009) Um triângulo ABC tem lados medindo
AB = 3 cm, BC = 6 cm e AC = 5 cm. Sejam Me H os pontos
de BC tais que AM é a bissetriz interna do ângulo BAC e AH é a
altura relativa ao lado BC. Com base nessas informações, pode-se
afirmar que o comprimento de MH, em centímetros, é igual a:

​

Answer 1

O comprimento de MH, em centímetros, é igual a:

7/12

De acordo com as informações do enunciado, montei a figura do triângulo ABC.

Nela, podemos usar o teorema da bissetriz interna, que diz:

"uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes"

Então:

3 =   5  

x     6 - x

Multiplicando cruzado, temos:

5x = 3(6 - x)

5x = 18 - 3x

5x + 3x = 18

8x = 18

x = 18/8

x = 9/4

Usaremos a fórmula de Heron para determinar a área do triângulo.

semiperímetro (p) = (a + b + c)/2

p = (3 + 5 + 6)/2

p = 14/2

p = 7

A = √p.(p - a).(p - b).(p - c)

A = √7.(7 - 3).(7 - 5).(7 - 6)

A = √7.4.2.1

A = √56

A = 2√14

A área do triângulo é dada por:

A = b.h

       2

2√14 = 6.h

             2

6h = 4√14

h = 4√14

        6

h = 2√14

        3

Por Pitágoras no triângulo ABH, temos:

h² + BH² = 3²

(2√14/3)² + BH² = 9

4.14/9 + BH² = 9

56/9 + BH² = 9

BH² = 9 - 56/9

BH² = 25/9

BH = √25/9

BH = 5/3

A medida MH é a diferença entre x e BH. Logo:

MH = x - BH

MH = 9/4 - 5/3

MH = 27/12 - 20/12

MH = 7/12