Question

5- O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima?

Answer 1

Temos que o raio deve ser 5,03 cm e a altura 10,06 cm.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que o volume deste recipiente deve ser 800 cm³, sabendo que a formula de volume de um cilindro é área da base vezes altura, temos que:

V = πR².H

800 = πR².H

Sabemos tambéms que a área total de um cilindro é á soma de duas vezes a área da base mais a área lateral, então temos que:

At = 2.πR² + 2πR.H

Assim, tendo estas informações em mente, a questão nos pede que seja gasto o minimo possivel de aluminio para construirmos este cilindro, ou seja, queremos a menor área total, pois é a parte do cilindro onde é gasto aluminio.

Sendo assim, temos duas equações:

800 = πR².H

At = 2.πR² + 2πR.H

Na primeira irei isolar o H:

H = 800/πR²

Agora irei substituir este valor de H na segunda equação:

At = 2.πR² + 2πR.H

At = 2.πR² + 2πR.(800/πR²)

At = 2.πR² + 1600/R

Agora temos uma equação de área pelo raio da base, podemos derivar e igualar a 0 para sabermos os pontos criticos:

At' = 4πR - 1600/R²

0 = 4πR - 1600/R²

1600/R² = 4πR

1600 = 4πR³

R³ = 400/π

R = ∛(400/π) cm = 5,03 cm

Ou seja, sabemos que o raio de ter aproximadamente 5,03 cm. Para descobrirmos a altura, basta substituirmos na equação novamente:

H = 800/πR²

H = 800/π(5,03)²

H = 10,06 cm

Então temos que o raio deve ser 5,03 cm e a altura 10,06 cm.