Question

O sistema sobre S (imagem), admite solução única, se e somente se, o valor de b for igual a:
a. 1
b. -11
c. -12
d. 6
e. 4

Answer 1

O sistema não admite solução única.

Primeiramente, vamos escalonar o sistema. Para isso, temos que $\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3|-1\\2&-1&-1|b\\-1&-4&11|-11\end{array}\right]$.

Sendo assim,

Fazendo L2 - 2L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3|-1\\0&3&-7|b+2\\-1&-4&11|-11\end{array}\right]$

Fazendo L3 + L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3|-1\\0&3&-7|b+2\\0&-6&14|-12\end{array}\right]$

Fazendo L3 + 2L2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3|-1\\0&3&-7|b+2\\0&0&0|2b-8\end{array}\right]$

Então, temos um novo sistema:

{x - 2y + 3z = -1

{3y - 7z = b + 2

{0 = 2b - 8

O sistema não poderá admitir uma única solução, pois:

Se 2b - 8 = 0 ∴ b = 4, o sistema terá infinitas soluções e se 2b - 8 ≠ 0 ∴ b ≠ 4, o sistema não terá solução.

Verifique se o enunciado está correto.

Answer 2

Usando os coeficientes do sistema linear para fazer uma matriz, temos:

$\left[\begin{array}{ccc}x&-2y&3z\\2x&-y&-z\\-x&-4y&11z\end{array}\right]$

Agora basta substituir uma coluna da matriz pelos termos independentes $\left[\begin{array}{ccc}-1\\b\\-11\end{array}\right]$ e calcular o determinante da matriz:

detX = $\left[\begin{array}{ccc}-1&-2&3\\b&-1&-1\\-11&-4&11\end{array}\right]$

Calculando o detX, temos b=2,6

detY = $\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\2&b&-1\\-1&-11&11\end{array}\right]$

Calculando o detY, temos b=4

detZ = $\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\2&-1&b\\-1&-4&-11\end{array}\right]$

Calculando o detZ, temos b=4

Ou seja, o sistema só terá solução se b=4

Letra E