Question

usando a formula de soma de PA resolva a equação -4, 2, 8, 14,... x=180​

Answer 1

Resposta:

x=44

Explicação passo-a-passo:

Problema:

Dada a PA = {-4, 2, 8, 14, ..., x} cuja soma vale 180

deseja-se saber o valor de x.

Primeiro, precisamos nos lembrar das fórmulas da PA.

São elas:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r$   (I)

S = $(a_{1} + a_{n})n/2$   (II)

A primeira permite achar um termo $a_{n}$ qualquer, se soubermos o valor de $a_{1}$ e da razão r.

A segunda permite saber o valor da soma S, se soubermos o valor do primeiro termo $a_{1}$, do último termo $a_{n}$ e o número de termos n.

Precisamos, antes de mais nada, saber o valor da razão r.

Isto pode ser obtido usando a primeira equação com os dois primeiros termos, que são conhecidos:

$a_{2} = a_{1} + (2-1)r$

2 = -4 + 1.r

2 + 4 = r

r = 6

Com esta informação, podemos montar um sistema de duas equações, (I) e (II), usando as fórmulas da PA e substituindo os temos já conhecidos:

x = -4 + (n-1).6      (I)

180 = (-4+x).n/2   (II)

Que podem ser reescritas assim:

x = -4 + 6.n -6   (I)

360 = -4.n + x.n   (II)

Ou ainda:

x = 6.n - 10   (I)

360 =  n.(x-4)   (II)

Substituindo (I) em (II) temos:

360 = n.(6.n - 10 - 4)

360 = n.(6.n - 14)

360 = 6.$n^{2}$ - 14.n

6.$n^{2}$ - 14.n - 360 = 0

3.$n^{2}$ - 7.n - 180 = 0

Resolvendo esta equação usando a fórmula de Baskhara, obtemos:

n = 9

(O outro valor de n obtido é descartado por ser negativo.)

Portanto, o último termo x é o 9º termo e o seu valor pode, agora, ser obtido reutilizando a equação (I):

x = 6.n - 10   (I)

x = 6.(9) - 10

x = 54 - 10

x = 44

;-)