Question

$\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1} } } } ... = x$
10 pontos pra quem resolver e me explicar como faz detalhadamente​

Answer 1

Há um padrão nesta expressão que se repete até o infinito.

E não importa de qual radical você comece, o padrão vai se repetir infinitamente.

Agora que vem o interessante: se eu sei que posso iniciar de qualquer radical, que terei o mesmo resultado, então eu separo o primeiro radical e igualo o restante a x.

$\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...} } } } = x \\ \\ \sqrt{1 + x} = x$

Agora ficou fácil!

Elevamos os dois membros ao quadrado e temos uma equação do segundo grau:

$( \sqrt{1 + x} )^{2} = {x}^{2} \\ 1 + x = {x}^{2} \\ {x}^{2} - x - 1 = 0$

E essa equação é bem famosa. É a equação do número de ouro!

Como a expressão original está sob uma raiz quadrada, vamos considerar somente a raiz positiva.

$x1 = \frac{- ( - 1) + \sqrt{( { - 1) ^{2} - 4(1)( - 1)} } }{2(1)} = \frac{1 + \sqrt{5} }{2} = 1.618...$

RESPOSTA: x = 1,618...

Espero que tenha conseguido te ajudar. Bons estudos!