Question

Para cada p > 0, a equação: px2 + (p + 25)y
2 = p
2 + 25p representa uma elipse

a) Determine (em função de p) a excentricidade e as coordenadas dos focos.
b) Deduza a equação de uma hipérbole que tem os mesmos focos que a elipse do item anterior
e que possui excentricidade 1.25

Answer 1

A excentricidade e as coordenadas dos focos são respectivamente: 5/√p + 25 e (5,0), (-5,0); A equação da hipérbole é x²/16 - y²/9 = 1.

a) Sendo px² + (p + 25)y² = p² + 25p, temos que:

$\frac{p.x^2}{p(p+25)}+\frac{(p+25)y^2}{p(p+25)}=\frac{p(p+25)}{p(p+25)}$

$\frac{x^2}{p+25}+\frac{y^2}{p}=1$.

Temos então que a² = p + 25 e b² = p; Portanto, c = 5.

A excentricidade é igual a c/a. Portanto, e = 5/√(p + 25).

Os focos da elipse são F' = (5,0) e F'' = (-5,0).

b) Como c/a = 1,25, então c = 1,25a.

Além disso, sabemos que a distância entre os focos é igual a 2c, ou seja,

2c = 10

c = 5.

Logo, a = 4 e b = 3.

Portanto, a equação da hipérbole é x²/16 - y²/9 = 1.