Question

sabe-se que o lucro l de uma empresa é uma função da quantidade q de bens vendidos, de acordo com a expressão l(q) = 100q + 2q² dado que a quantidade de bens vendidos é uma função do tempo t, calcule a variação do lucro em relação ao tempo para q = 20 peças, dado que a variação da quantidade em relação em tempo é igual a 20 peças/mês para q = 20 peças.

Answer 1

Temos a função lucro dada por:

$\ell(q) = 100q + 2q^2,$

sendo $q \equiv q(t)$ a quantidade de bens vendidos. Sabemos ainda que:

$\dfrac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t}\Big\vert_{q(t)=20} = 20,$

sendo $t$ o tempo em meses. Calculamos então a derivada do lucro em ordem ao tempo:

$\dfrac{\textrm{d}\ell}{\textrm{d}t}.$

Aplicamos a regra da cadeia:

$\dfrac{\textrm{d}\ell}{\textrm{d}t} = \dfrac{\textrm{d}\ell}{\textrm{d}q}\dfrac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t},$

onde

$\dfrac{\textrm{d}\ell}{\textrm{d}q} = 100 + 4q.$

Concretizando agora para $q(t) = 20$, temos:

$\dfrac{\textrm{d}\ell}{\textrm{d}t}\Big\vert_{q(t)=20} = \underbrace{\dfrac{\textrm{d}\ell}{\textrm{d}q}\Big\vert_{q(t)=20}}_{=100 + 4\times20 = 180} \underbrace{\dfrac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t}\Big\vert_{q(t)=20}}_{=20} = 180 \times 20 = 3600.$