Question

Como encontrar o limite dessa função? (Sem usar L'Hopital)

Answer 1

Resposta:

e^7

Explicação passo-a-passo:

Para não ser preciso, aplicar logaritmo, transformar e fazer aparecer a forma 0/0 ou ∞/∞, para em seguida aplicar L'hopital, vc tem que dividir numerador e denominador por x, visando criar condições de resolver aplicando o limite fundamental que é:

lim (1+1/x)^x, com x --> 0 é igual a e. Generalizando para chegar na solução de uma forma mais rápida temos:

lim (1+m/x)^(nx), com x --> ∞ é igual a (e^m)^n, que é igual a e^(mn).

lim {[(x+2)/x]/[(x-5)/x]}^x, com x --> ∞

lim {[(x/x+2/x)]/[(x/x-5/x)]}^x, com x --> ∞

{lim [(1 + 2/x)]^x]/lim[(1 - 5/x)]^x}, com x --> ∞

Usando o limite fundamental acima mencionado temos:

e²/e^(-5)=

e^(2-(-5)) =

e^(2+5) =

e^7

Answer 2

• O limite dado tem como resultado:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x = e^7\end{gathered}$

Desejamos calcular o seguinte limite:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x\end{gathered}$

Para resolver essa limite, vale ressaltar os limites fundamentais exponenciais. São eles:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\tt \lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x}}\ \ \wedge\ \ \underline{\boxed{\tt \lim_{x \to 0} \left( 1+x\right)^{\frac{1}{x}}}}\end{gathered} }$

No caso da nossa questão, iremos utilizar o primeiro limite fundamental exponencial. Para isso, iremos fazer uma substituição simples, chamando então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt u=x-5\longrightarrow x=u+5\end{gathered}$

Temos então que:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x = \lim_{u \to \infty} \left( \frac{(u+5)+2}{u} \right)^{u+5} \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{7}{u}\right)^{u+5} \end{gathered}$

Perceba que está bem parecido com o limite fundamental exponencial, vamos agora fazer outra substituição, chamando então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \frac{1}{c}=\frac{7}{u} \longrightarrow u=7c\end{gathered}$

Ficamos então da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x = \lim_{c \to \infty} \left(1+\frac{1}{c}\right)^{7c+5} \end{gathered}$ $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x = \lim_{c \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{c}\right)^{c}\right]^{7} \cdot \underbrace{\tt \lim_{c \to \infty} \left(1+\frac{1}{c}\right)^{5}}_{\longrightarrow 1}\end{gathered} }$

Por fim, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x = \lim_{c \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{c}\right)^{c}\right]^{7}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \green{\underline{\boxed{\tt \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x-5} \right)^x = e^7}}}\ \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/45538446