Question

dois dos vertices de um triangulo são A(2,-2) e B(3,-3). sabendo que a área desse triangulo é igual a 6 unidades de área e que o vértice C pertence a reta 2x+y-1=0, encontre as coordenadas do ponto C.​

Answer 1

A área de um triângulo cujos vértices são (xa, ya), (xb, yb) e (xc, yc) é dada por:

$A = \frac{1}{2}det\left[\begin{array}{ccc}xa&ya&1\\xb&yb&1\\xc&yc&1\end{array}\right]$

Sabemos que A = (2, -2) e B = (3, -3) e que a área do triângulo é 6.

Seja C = ($x_c$, $y_c$).

Temos:

$A = \frac{1}{2}det\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\ x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right]\\\\6 = \frac{1}{2}det\left[\begin{array}{ccc}2&-2&1\\3&-3&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right]\\\\6 = \frac{1}{2}.(-6 -2x_c + 3y_c + 6 - 2y_c + 3x_c)\\\\12 = -6 -2x_c + 3y_c + 6 - 2y_c + 3x_c\\\\12 = x_c + y_c\\\\y_c = 12 - x_c$

Como o vértice C pertence à reta 2x + y - 1 = 0, temos:

$2x + y - 1 = 0\\2x_c + (12 - x_c) - 1 = 0\\x_c - 11 = 0\\x_c = 11$

Logo, a abscissa do vértice C é 11, e a ordenada será:

$2x + y - 1 = 0\\2.11 + y_c - 1 = 0\\y_c = -21$

Concluímos que o vértice C tem coordenadas (11, -21).