Question

Discuta em função de b o grau do polinômio P(x) = (b^2 – 5b + 6)x^2 + (b^2 – 4)x + (6 – 2b) com b ∈ R. 110.

Answer 1

Quando b=3 o polinomio será de grau 1, quando b=2 o polinomio será de grau 0, qualquer outro valor de b o plinomio será grau 2.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte polinomio:

$P(x)=(b^2-5b+6)x^2+(b^2-4)x+(6-2b)$

Sabemos que os polinomios de segundo grau no geral tem o seguinte formato:

$P(x)=Ax^2+Bx+C$

Onde, A, B e C neste caso são constantes. Podemos associar cada um dos termos nos nossos polinomios a esses A, B e C:

A = (b^2-5b+6)

B = (b^2-4)

C = (6-2b)

O grau de um polinomio, depende exclusivamente do grau do maior termo, ou seja, se B e C forem 0, este ainda é um polinomio de grau 2, mas se A = 0, então este vira um polinomio de grau 1. Então vamos ver quando este é um polinomio de grau 1:

A = 0

(b^2-5b+6) = 0

Agora temos outra equação do segundo grau para resolver:

$\Delta =(-5)^2-4.1.6=25-24=1$

$b=\frac{5\pm 1}{2}$

b1 = 3

b2 = 2

Assim, este polinomio é de grau 1 quando b for 3 ou 2.

Mas pode ser que um desses valores de b também zere o termo B, fazendo com que o polinomio seja de grau 0, ou nulo, para isso vamos analisar quando B é 0:

B = 0

(b^2-4) = 0

b² = 4

b1 = 2

b2 = -2

Ou seja, quando b for 2 ela irá anular também o B , fazendo com que o polinomio seja de grau 0.

Então concluindo, Quando b=3 o polinomio será de grau 1, quando b=2 o polinomio será de grau 0, qualquer outro valor de b o plinomio será grau 2.