Num quadrado ABCD, os vertices A(1; 2) e C(8; 3) sao extremos de uma das diagonais. Determine os outros dois vertices.
Respostas
Os pontos da diagonal são:
(1,2) e (8,3)
A diagonal mede, então:
d = raiz de [ (8-1)^2 + (3-2)^2 ]
d = raiz de [ 7^2 + 1^2 ]
d = raiz de [ 49 + 1 ]
d = raiz [ 50 ]
d = 5 raiz de [ 2 ]
O ponto médio da diagonal vale : (some as coordenadas e divida por 2)
( (8+1)/2 ; (3+2)/2)
(9/2, 5/2)
Encontrando a inclinação (m) da diagonal 1:
Pontos: (1,2) e (8,3)
x = 8
xo = 1
y = 3
yo = 2
Calculando m:
m = y-yo/x-xo
m = 3-2/8-1 = 1/7
As duas diagonais do quadrado se interceptam no meio da diagonal, formando ângulos de 90° entre si. Isso significa que as retas são concorrentes perpendiculares. Sabendo disso, podemos achar a equação reduzida da segunda diagonal, calculando o valor de "m" dela.
Utilizando a relação:
m1.m2 = -1
1/7 . m2 = -1
m2 = -7
Agora, utilizando equação fundamental da reta, para a diagonal 2:
y-yo = m.(x-xo)
y-5/2= -7.(x-9/2)
y - 5/2 = -7x + 63/2
y - 5/2 + 7x -63/2 = 0
y = 68/2 - 7x ou
y = 34 - 7x (Eq. 1)
A distância entre o ponto médio e o vértice B é a metade da diagonal:
Metade = 5 raiz de 2 / 2
( Metade )^2 = 25/2
Utilizando a equação da distância entre pontos:
25/2 = (x-9/2)^2 + (y-5/2)^2
Substituindo a equação 1 no valor de y.
25/2 = (x-9/2)^2 + (68/2-7x-5/2)^2
25/2 = (x-9/2)^2 + (63/2-7x)^2
25/2 = x^2 - 9x + 81/4 + 3969/4 - 2.63/2.7x + 49x^2
25/2 = x^2 - 9x + 81/4 + 3969/4 - 441x + 49x^2
0 = 50x^2 - 450x + 81/4 + 3969/4 -25/2
(TIRE O MMC dos números sem incógnita)
0 = 50x^2 - 450x + 4000/4
0 = 50x^2 - 450x + 1000
Simplificando por 50:
0 = x^2 - 9x + 20
<=>
x^2 - 9x + 20 = 0
RESOLVENDO A EQ. QUADRÁTICA
Raízes: x1 = 5 e x2 = 4
Substituindo os valores de x na equação 1
y1 = -1,5
y2 = 6,5
RESPOSTA: PONTOS
A = (1, 2)
B = (5 , -1,5)
C = (8, 3)
D = (4, 6,5)