Question

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=2x² no ponto de quando x=1 . Esboce o gráfico.

Answer 1

Boa noite André!

Dados do problema!
f(x)=2x²
Abscissa =x=1

Vamos derivar a função:
f(x)=2x²
f´(x)=4x

Substituindo 1 na função vamos encontrar o coeficiente angular da reta.
f´(1)=4(1)
f´(1)=4
m=4

Vamos fazer x=1 fa função:
f(x)=2x²
f(1)=2(1)²
f(1)=2
Logo a reta é tangente a função f(x)=2x² no ponto P(1,2)

sendo a reta y=mx+r
m=4
y=4x+r
Como o ponto pertence a reta fica:
2=4(1)+r
2-4=r r=-2
y=4x-2

Logo a reta é y=4x-2
Essa é a reta tangente a parábola.
Estou anexando o gráfico.

Boa noite
Bons estudos

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva da referida função polinomial passando pelo referido ponto de tangência é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 4x - 2\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                     $\Large\begin{cases} f(x) = 2x^{2}\\x_{T} = 1\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta "t" tangente ao gráfico da referida função, passando pelo ponto de tangência "T", podemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que o coeficiente angular é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (2\cdot 1^{2}) = \left[2\cdot2\cdot1^{2 - 1}\right]\cdot(x - 1)\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (2\cdot1) = \left[4\cdot1^{1}\right]\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = 4\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = 4x - 4\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 4x - 4 + 2\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 4x - 2\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 4x - 2\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$