Question

Determine a equação vetorial da reta que passa por a=(1, 3, 2) e tem direção do vetor v, onde v forma um ângulo de 45º com u = (1, - 1, 0), v é ortogonal ao vetor w = (1, 1, 0) e | v | =2

Answer 1

Adotando um sistema ortonormal canônico de coordenadas em $\mathsf{\mathbb{R}^3:}$

Equação vetorial da reta: $\mathsf{r:P \ = \ (x_0, y_0, z_0) \ + \ \lambda \cdot (a, b, c)}$

Onde $\mathsf{P_0 \ = \ (x_0, y_0, z_0)}$ é um ponto qualquer conhecido e $\mathsf{\vec{v} \ = \ (a, b, c)}$ é o vetor diretor.

No caso, $\mathsf{P_0 \ = \ (1,3,2).}$

Pelas informações, $\mathsf{\vec{v} \ \perp \ \vec{w} \ \rightarrow \ \vec{v} \bullet \ \vec{w} \ = \ 0}$

$\mathsf{a \ + \ b \ + \ 0 \ = \ 0 \ \rightarrow \ a \ = \ -b}$

Usando agora a relação do produto escalar:

$\mathsf{\cos(\Theta) \ = \ \dfrac{\vec{v} \bullet \vec{u}}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{u}||}}$, em que $\mathsf{\Theta \ = \ ang(\vec{u}, \vec{v}).}$

Sendo $\mathsf{\Theta \ = \ 45^\circ:}$

$\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ = \ \dfrac{a \ - \ b \ + \ 0}{\underbrace{\mathsf{2}}_{||\vec{v}||} \cdot \underbrace{\mathsf{\sqrt{2}}}_{||\vec{u}||}}}$

$\mathsf{2\cdot a \ = \ 2 \ \rightarrow \ a \ = \ 1, b \ = \ -a \ = \ -1}$

Pelo módulo: $\mathsf{||\vec{v}|| \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2}}$

$\mathsf{2 \ = \ \sqrt{1^2 \ + \ (-1)^2 \ + \ c^2}}$

$\mathsf{4 \ = \ 2 \ + \ c^2}$

$\mathsf{c \ = \ \pm \sqrt{2}}$

Logo, temos duas retas, uma com $\mathsf{\vec{v_1} \ = \ (1,-1,\sqrt{2})}$ e outra com $\mathsf{\vec{v_2} \ = \ (1,-1,-\sqrt{2})}$.

Portanto: $\boxed{\mathsf{r_1: (1,3,2) \ + \ \lambda (1,-1,\sqrt{2})}}$ e $\boxed{\mathsf{r_2: (1,3,2) \ + \ \lambda (1,-1,-\sqrt{2})}}$