Question

Pamela precisa escolher 2 entre um total de n cores para a produção de um painel de uma peça teatral. Se Pamela apresenta um total de 190 combinações de cores possíveis, qual será o valor de n?

Answer 1

O valor de n será 20.

Como a ordem da escolha das cores não é importante, então utilizaremos a fórmula da Combinação: $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Temos que escolher duas cores. Então, k = 2. Sendo 190 o total de combinação, segue que:

$\frac{n!}{2!(n-2)!}=190$.

Pela definição de fatorial, temos que n! = n.(n - 1).(n - 2)!. Assim,

$\frac{n.(n-1).(n-2)!}{2.(n-2)!}=190$

ou seja,

n(n - 1) = 2.190

n² - n - 380 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-1)² - 4.1.(-380)

Δ = 1521

$n=\frac{1+-\sqrt{1521}}{2.1}$

$n=\frac{1+-39}{2}$

$n'=\frac{1+39}{2}=20$

$n''=\frac{1-39}{2}=-19$.

Como n é uma quantidade, então não podemos utilizar o valor negativo. Portanto, n = 20.