Question

Dois vértices opostos de um quadrado de lado 2 cm coincidem com os pontos médios dos lados horizontais de um hexágono regular, como mostra a figura.
.
.
.
Determine o comprimento dos lados do hexágono.​

Answer 1

Começamos lembrando que, no quadrado, a diagonal tem medida igual a:

$Diagonal~=~Lado~.~\sqrt{2}\\\\\\Logo,~para~este~quadrado~a~diagonal~tem~medida:\\\\\\Diagonal~=~2~.~\sqrt{2}\\\\\\\boxed{Diagonal~=~2\sqrt{2}~cm}$

Podemos então afirmar que o apotema do hexágono, a distancia entre o ponto médio de um lado do hexágono e o seu centro, vale a metade da diagonal calculada, ou seja:

$apotema\,(a)~=~\frac{Diagonal}{2}\\\\\\apotema\,(a)~=~\frac{2\sqrt{2}}{2}\\\\\\\boxed{apotema\,(a)~=~\sqrt{2}~cm}$

No entanto, o apotema de um hexágono pode ser calculado por:

$a~=~\frac{Lado~.~\sqrt{3}}{2}$

Substituindo o valor do apotema, podemos determinar a medida dos lados do hexágono:

$\sqrt{2}~=~\frac{Lado~.~\sqrt{3}}{2}\\\\\\Lado~=~\frac{2~.~\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\\\\\Racionalizando:\\\\\\Lado~=~\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}~.~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\\\Lado~=~\frac{2\sqrt{2}~.~\sqrt{3}}{\sqrt{3}^{\,2}}\\\\\\Lado~=~\frac{2\sqrt{2~.~3}}{3}\\\\\\\boxed{Lado~=~\frac{2\sqrt{6}}{3}~cm}$