3. (Uerj 2018) No projeto de construção de uma estrada retilínea entre duas vilas, foi escolhido um sistema referencial
cartesiano em que os centros das vilas estão nos pontos
A(1, 2)
e
B(11, 7).
O trecho
AB
é atravessado por um rio que tem seu
curso em linha reta, cuja equação, nesse sistema, é
x 3y 17.
Observe abaixo o esboço do projeto.
Desprezando as larguras da estrada e do rio, determine as coordenadas do ponto de interseção I.
Respostas
As coordenadas do ponto de interseção I são: x = 5 e y = 4.
Reescrevendo o enunciado:
"No projeto de construção de uma estrada retilínea entre duas vilas, foi escolhido um sistema referencial cartesiano em que os centros das vilas estão nos pontos A(1,2) e B(11,7). O trecho AB é atravessado por um rio que tem seu curso em linha reta, cuja equação, nesse sistema, é x + 3y = 17. Observe abaixo o esboço do projeto.
Desprezando as larguras da estrada e do rio, determine as coordenadas do ponto de interseção I."
Primeiramente, tempos que definir a equação da reta que passa pelos pontos A e B.
Para isso, é importante sabermos que a equação cartesiana da reta é da forma y = ax + b.
Substituindo os pontos A = (1,2) e B = (11,7) na equação y = ax + b, obtemos o seguinte sistema:
{a + b = 2
{11a + b = 7
Da primeira equação, podemos dizer que b = 2 - a. Substituindo o valor de b na segunda equação:
11a + 2 - a = 7
10a = 5
a = 5/10
a = 1/2.
Logo,
b = 2 - 1/2
b = 3/2.
Portanto, a equação que representa a estrada é y = x/2 + 3/2 ∴ 2y = x + 3.
Para calcularmos o ponto I, observe que da equação x + 3y = 17 podemos dizer que x = 17 - 3y.
Substituindo o valor de x na equação da estrada:
2y = 17 - 3y + 3
5y = 20
y = 4.
Logo,
x = 17 - 3.4
x = 17 - 12
x = 5
ou seja, I = (5,4).
