Question

(UFVJM) Nesta figura, o triângulo retângulo ABC está circunscrito à circunferência de raio r .
Considerando que r = 2 cm e o segmento AC = 6 cm, o valor da área do triângulo ABC é.

a) 21cm²
b) 24cm²
c) 27cm²
d) 30cm?

Answer 1

É difícil explicar sem um desenho, mas vamos lá:

Se descobrirmos o ângulo α ∡ACB, poderemos fazer AB = 6 · tan(α).

Repare que α = α1 + α2, onde o primeiro é delimitado pelos vértices ACO, onde O é o centro da circunferência, e o segundo é delimitado pelos vértices COB.

Podemos fazer 6-r=4 para obtermos diminuirmos o lado do triângulo interno que usaremos para encontrar α1.

Ficamos com um triângulo tal que:

Cateto oposto = r = 2

Cateto adjacente = 6 - r = 4

tan(α1) = oposto/adjacente = 2/4 = 1/2

α1 = arc tan(1/2)

Ao lado deste, temos outro triângulo tal que :

Cateto oposto = r = 2

Hipotenusa = √(4² + 2²) = √20

Logo, sen(α2) = 2/√20

α2 = arc sen(2/√20)

α = α1 + α2 ≅ 53,13º

Por fim, AB = 6 · tan(53,13º) ≅ 8

A área do triângulo será dada por 8 · 6 ÷ 2 = 24cm²