Da sacada de um apartamento, a 30 metros de altura, um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s. A altura, h, do objeto após t segundos do lançamento pode ser aproximada por h = -30 +20t -5t^2.
a) Após quanto tempo o objeto atingiu 45 m de altura?
b) Após quanto tempo o objeto atingiu 50 m de altura?
c) Após quanto tempo o objeto atingiu 5 m de altura?
d) É possível o objeto atingir 60 m de altura?
Respostas
Vamos usar a equação para o movimento uniformemente variado:
S = So + vot + at²/2
So = 30 m; vo = 20m/s ; a = -10m/s² (porque o objeto foi lançado para cima contra o sentido da gravidade)
a) S = So + vot + at²/2
45 = 30 + 20.t - 10t²/2
0 = - 15 + 20t - 5t²
Vamos simplificar a equação toda por 5 para facilitar o cálculo:
-t² + 4t - 3 = 0
Resolveremos por Bháskara:
Δ = 4² - 4 . (-1) . (-3) = 16 - 12 = 4
t = - 4 ± √4 - 4 - 2 - 4 + 2
------------- ; t' = -------------- = 3s e o t'' = ------------------- = 1s
2. (-1) -2 -2
Isso quer dizer que entre 1s e 3s o objeto atingiu a altura de 45m.
b) Faremos o mesmo procedimento da letra anterior, só trocaremos o S por 50 dessa vez.
50 = 30 + 20.t - 10t²/2
0 = - 20 + 20t - 5t²
Dividindo tudo por 5:
- t² + 4t - 4 = 0
Δ = 16 - 4 . (-1) . (-4) = 16 - 16 = 0
t = - 4 ± √0
--------------; t = - 4/ -2 = 2s
2. (-1)
c) Agora trocamos o S por 5
5 = 30 + 20.t - 10t²/2
0 = 25 + 20t - 5t²
Dividimos tudo por 5
-t² + 4t + 5 = 0
Δ = 16 - 4 . (-1) . 5 = 36
t = - 4 ± √36 - 4 - 6 - 4 + 6
----------------; t' = ------------ = 5s; t'' = ---------------- = -1 s
2. (-1) -2 -2
Como não existe tempo negativo, o resultado é 5s
d) Agora substituiremos o S por 60 para ver se chegamos num valor positivo de tempo, se não, não é possível ele atingir essa altura.
60 = 30 + 20.t - 10t²/2
0 = - 30 + 20t - 5t²
Dividimos tudo por 5
- t² + 4t - 6 = 0
Δ = 16 - 4 . (-1) . (-6) = 16 - 24 = - 8
Como o delta é negativo e para jogarmos na fórmula temos que tirar a raiz, não é possível para o móvel chegar a essa altura com essa velocidade, pois não existe raiz de número negativo.