Question

Me ajudem ?
A inclinação da curva y = f(x) no ponto x = c é igual à inclinação da corda com extremidades (a, f(a)) e (b, f(b)). A conclusão do teorema do valor médio é que existe pelo menos um elemento c no intervalo aberto (a,b) satisfazendo f(b) - f(a) = f'(c) (b-a).
Então uma interpretação geométrica para essa conclusão é que :

Escolha uma:
a. a inclinação da curva y = f(x) no ponto x = c é igual à inclinação da corda com extremidades (a,f(a)) e (b, f(b)).
b. a inclinação da curva y = f(x) no ponto x = a é igual à inclinação da corda com extremidades (a,f(a)) e (b, f(b)).
c. a inclinação da curva y = f(x) no ponto x = b é igual à inclinação da corda com extremidades (c,f(c)) e (b, f(b)).
d. a inclinação da curva y = f(x) no ponto x = a é igual à inclinação da corda com extremidades (a,f(a)) e (c, f(c)).
e. a inclinação da normal à curva y = f(x) no ponto x = c é igual à inclinação da corda com extremidades (a,f(a)) e (b, f(b)).

Answer 1

A inclinação da curva y = f(x) no ponto x = c é igual à inclinação da corda com extremidades (a,f(a)) e (b,f(b)).

Em uma curva contínua, traçamos uma reta secante em dois pontos: (a,f(a)) e (b,(f(b)).

O valor do coeficiente angular dessa reta secante é igual a $m = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Pelo Teorema do Valor Médio, na reta secante existe um valor x = c, cuja derivada de uma função nesse ponto resulta no mesmo valor do coeficiente angular da reta secante, ou seja,

$m=f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Portanto, podemos concluir que a inclinação da curva no ponto c é igual a inclinação da reta secante (corda) com extremidades (a,f(a)) e (b,f(b)).