Question

a densidade populacional ax quilometros de uma certa cidade é dada por uma funçao da forma Q(x)=Ae -kx (expoente). determine etsa funçao, sabendo que a densidade populacional no centro da cidade é de 15000 habitantes por quilometros quadrados e a densidade populacional a 10 km do centro da cidade é de 9000 habitantes po km quadrado.

Answer 1

Analisando o valores dados e a função temos, que a função completa é dada por:

$Q(x)=15000e^{-0,052x}$

Explicação passo-a-passo:

Vejamos a função dada:

$Q(x)=A.e^{-kx}$

Note que, pelo que foi dito, Q é a quantidade de habitantes, e x é a distancia em kilometros do centro da cidade, logo, A e k são constantes que precisamos descobrir para determinar esta função.

Assim vamos olhar para o primeiro dado que temos: No centro da cidade (x=0), a população é de 15000(Q=15000), então vamos substituir estes valores:

$Q(x)=A.e^{-kx}$

$15000=A.e^{-k.0}$

$15000=A.e^{0}$

$15000=A.1$

$A=15000$

Já descobrimos o valor de A, então agora vamos para o segundo dado fornecido: A 10 km do centro (x=10), a população é de 9000(Q=9000):

$Q(x)=A.e^{-kx}$

$9000=15000.e^{-k.10}$

$\frac{9000}{15000}=e^{-k.10}$

$\frac{9}{15}=e^{-k.10}$

$\frac{3}{5}=e^{-10k}$

Aplicando logaritmo natural do dois lados:

$Ln(\frac{3}{5})=Ln(e^{-10k})$

$Ln(3)-Ln(5)=-10k$

Pegando os valores na tabela de logaritmos naturais temos que:

$Ln(3)-Ln(5)=-10k$

$1,09-1,61=-10k$

$-0,52=-10k$

$0,052=k$

Agora sabemos também o valor de k, então temos a equação completa:

$Q(x)=15000e^{-0,052x}$