Question

Sejam P(1, y1) e Q(x2, 1) pontos da reta 5x + 2y − 17 = 0. Se M(xm, ym) é o ponto médio do
segmento P Q, então qual o valor de 7xm + 6ym?

Answer 1

Vamos começar determinando as coordenadas y1 e x2.

Determinar y1: Para achar y1, vamos substituir a coordenada "x" do ponto P na equação da reta.

$5x+2y-17~=~0\\\\\\5\,.\,(1)+2y_1-17~=~0\\\\\\5+2y_1-17~=~0\\\\\\2y_1~=~12\\\\\\\boxed{y_1~=~6}$

Determinar x2: Para achar x2, vamos substituir a coordenada "y" do ponto Q na equação da reta.

$5x+2y-17~=~0\\\\\\5x_2+2\,.\,(1)-17~=~0\\\\\\5x_2+2-17~=~0\\\\\\5x_2~=~15\\\\\\\boxed{x_2~=~3}$

Podemos agora determinar o ponto M:

$M~=~\left(\frac{x_P+x_Q}{2}~,~\frac{y_P+y_Q}{2}\right)\\\\\\M~=~\left(\frac{1+3}{2}~,~\frac{6+1}{2}\right)\\\\\\M~=~\left(\frac{4}{2}~,~\frac{7}{2}\right)\\\\\\\boxed{M~=~(2~,~3,5)}$

Por fim, podemos calcular a expressão solicitada:

$7x_m~+~6y_m~=~7~.~(2)~+~6~.~(3,5)\\\\\\7x_m~+~6y_m~=~14~+~21\\\\\\\boxed{7x_m~+~6y_m~=~35}$