Respostas
Resposta:
a) y=-x²+2x+3
b) y= x²-2x
c) y= -x²+1
d) y=x²-2x+4
Explicação passo-a-passo:
Existem diversas maneiras de resolver isso. Eu utilizo uma que tem menos cálculos, quando a parábola corta o eixo x, mas não serve para todas as funções.
a)
Do gráfico:
A parábola corta o eixo x.
Para y=0 => x'= -1 e x''=3 (raíz da equação)
Para x=0 => y=3
y=ax²+bx+c=k(x-x')(x-x''), onde k={...-3, -2,-1, 1,2,3...}
y=k(x-(-1))(x-3)=k(x+1)(x-3)=k(x²-3x+x-3)=k(x²-2x-3) (1)
Para x=0 => y=3
y=k(x²-2x-3) => 3=k(0²-2.0-3) => 3= -3k =>k= -1
Substituindo k= -1 em (1)
y=k(x²-2x-3)
y= -1.(x²-2x-3)= -x²+2x+3
b)
A parábola corta o eixo x.
Para y=0 => x'=0 e x''=2 (raíz da equação)
yv= -1 (valor mínimo de y)
y=ax²+bx+c=k(x-x')(x-x''), onde k={...-3, -2,-1, 1,2,3...}
y=(x-0)(x-2)=k(x²-2x)= kx²-2kx(1) => a=k, b= -2k, c=0
yv= -Δ/4a
-1= -(b²-4ac)/4a (c=0, ver na (1))
-1 = -b²/4a
-1= -(2k)²/4(k)
1= 4k²/4k
1=k
de (1):
y= kx²-2kx=x²-2x
c) Do gráfico:
A parábola corta o eixo x.
Para y=0 => x'= -1 e x''=1 (raíz da equação)
Para x=0 => y=1
y=ax²+bx+c=k(x-x')(x-x''), onde k={...-3, -2,-1, 1,2,3...}
y=k(x-(-1))(x-1)=k(x+1)(x-1)=k(x²-1) (1)
Para x=0 => y=1
y=k(x²-1) => 1=k(0²-1) => 1= -k => k= -1
Substituindo k= -1 em (1)
y=k(x²-1)
y= -1.(x²-1)= -x²+1
d)
Para x=0 => y=4
Para x=2 => y=4
yv=3
y=ax²+bx+c
Para x=0 => y=4
y=ax²+bx+c
4=a.0²+b.0+c => c=4
Para x=2 => y=4
y=ax²+bx+4
4=a.2²+b.2+4
4a+2b=0 (1)
yv= -Δ/4a=
3= -(b²-4(a)(4))/4a
3= -b²/4a + 4
b²/4a =1
b²=4a (2)
Substituindo 4a = b² em (1)
4a+2b=0
b²+2b=0
b(b+2)=0
b=0 ou b+2=0=>b= -2
Se b=0 => 4a = b² => a=0 (não é uma parábola)
se b= -2 => 4a = b² => 4a=(-2)² => 4a=4 => a=1