Question

A função x=6.cos(3.pi.t+pi/3), com os valores no sistema internacional de unidades, descreve o movimento harmônico simples de um corpo. Qual é o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo no instante t=2s?

Answer 1

Olá Lalanandi, tudo bem?

Trata-se de um exercício sobre Movimento Harmónico Simples (M.H.S).

Foi-nos fornecida a função horária dos espaços:

x (t) = 6•cos (3πt + π/3)

O exercício pode ser resolvido por meio da aplicação do conceito de derivada de uma função.

Sabe-se que:

• A derivada da função horária dos espaços resulta na função horária da velocidade;
• E, a derivada da velocidade em aceleração.

DESLOCAMENTO:

Para calcular o deslocamento basta substituir por 2s o valor de t.

x (t) = 6•cos (3πt + π/3)

x (2) = 6•cos (3π•2 + π/3)

x(2) = 6•cos (6π+π/3)

x(2) = 6 • cos (18π+π/3)

x(2) = 6 • cos (19π/3)

x (2) = 6 • ½

x(2) = 3 metros

VELOCIDADE:

x (t) = 6•cos(3πt + π/3)

x’(t) = [6•cos(3πt + π/3)]’

x'(t) = 6 • (3πt + π/3)'•[cos(3πt+π/3)]’

x'(t) = — 6 • 3π • sen (3πt + π/3)

v (t) = —18π • sen(3πt+π/3)

Substituindo t = 2s

v (t) = —18π • sen(3π•2+π/3)

v(t) = —18π • sen(6π+π/3)

v(t) = —18π • sen(19π/3)

v(t) = —18π • √3/2

v(t) = —9√3π m/s (aplicando módulo)

v(t) = 9√3π m/s

ACELERAÇÃO:

v’(t) = [—18π • sen(3πt+π/3)]’

a (t) = —18π • (3πt + π/3)’•[sen(3πt + π/3)]’

a (t) = —18π•3π • cos(3πt+π/3)

a(t) = —54π² • cos (3πt + π/3)

Substituindo por t=2s

a(2) = —54π² • cos (3π•2+ π/3)

a(2) = —54π² • cos (6π+ π/3)

a(2) = —54π² • cos (19π/3)

a (2) = —54π² • ½

a(2) = —27π² m/s² (aplicando módulo)

a (2) = 27π² m/s²

Espero ter ajudado!