Question

. Determine o ponto simétrico de P = (4, −7, 4) em relação ao plano π : x − 3y + z − 3 = 0.

Answer 1

. Determine o ponto simétrico de P = (4, −7, 4) em relação ao plano π : x − 3y + z − 3 = 0.

Resposta: Dois pontos P e P' são simétricos em relação a um plano π, quando são equidistantes de π e estão situados sobre a mesma perpendicular à π.  Seja P' = (a, b, c) e $\overrightarrow{n}= (1, -3, 1)$ o vetor normal ao plano π. Temos que o vetor $\overrightarrow{PP'}$ é um múltiplo do vetor normal. Assim, para $k\in \mathbb{R}$, temos:

$\overrightarrow{PP'}=k.\overrightarrow{n}\\\\\Rightarrow (a-4, b-(-7), c-4) = k.(1, -3, 1)\\\Rightarrow \begin{cases} a-4=k\\ b+7=-3k\\c-4=k\\\end{cases} \sim \begin{cases} a=k+4\\ b=-3k-7\\c=k+4\\\end{cases}$

O ponto médio M do segmento $\overline{PP'}$ pertence ao plano π. Determinemos M:

$M=\left (\frac{4+k+4}{2} ,\frac{-7-3k-7}{2} ,\frac{4+k+4}{2}\right )=\left (\frac{8+k}{2} ,\frac{-14-3k}{2} ,\frac{8+k}{2}\right ).$

Como M pertence ao plano π, substituindo M na equação do plano, temos:

$x-3y+z=3 \Rightarrow \frac{8+k}{2}-3\cdot \frac{-14-3k}{2} + \frac{8+k}{2}=3\\\Rightarrow \frac{8+k}{2}+\frac{42+9k}{2} + \frac{8+k}{2}=\frac{6}{2}\\\Rightarrow 8+k+42+9k+8+k=6\\\Rightarrow 11k+58=6\\\Rightarrow k=\frac{-52}{11}\cdot$

Substituindo o valor de k no ponto P', encontramos o ponto simétrico desejado:

$P'=(k+4,-3k-7,k+4)\\\Rightarrow P'=\left ( -\frac{52}{11}+4, -3.\left ( \frac{-52}{11}\ \right )-7,\ -\frac{52}{11}+4\right )\\\Rightarrow P'=\left ( \frac{-8}{11}, \frac{3.52-7.11}{11}, \frac{-8}{11} \right )\\\Rightarrow \mathbf{P'=\left ( \frac{-8}{11}, \frac{79}{11}, \frac{-8}{11} \right )}.$

Answer 2

Utilizando a projeção do ponto P no plano $\pi$, calculamos que, o ponto simétrico de P é igual a $( - \dfrac{8}{11}, \dfrac{79}{11}, - \dfrac{8}{11} )$.

Quais as coordenadas do ponto simétrico

O ponto simétrico de P em relação ao plano $\pi$ é igual ao ponto P', de forma que, PP' é um segmento perpendicular ao plano $\pi$ cujo ponto médio é a projeção ortogonal do ponto P sobre $\pi$.

Vamos começar calculando a projeção ortogonal de P sobre o plano $\pi$. Vamos denotar esse ponto por Q e por n o vetor normal ao plano dado, dessa forma, podemos escrever:

$PQ = (x - 4, y + 7, z - 4)$

$PQ = k*n$

$(x - 4, y + 7, z - 4) = (k, -3k, k)$

$\begin{bmatrix} x-4=k \\ y+7=-3k \\ z-4=k \end{matrix}$

$x=k+4,\:z=k+4,\:y=-3k-7$

Como esse ponto pertence ao plano $\pi$, temos que, as coordenadas do ponto Q tornam a equação do plano uma igualdade verdadeira, ou seja:

$Q = ((8 + k)/2, (-14-3k)/2, (8 + k)/2)$

$\left( (8 + k)/2 \right) - 3 \left(  (-14-3k)/2 \right) + \left(  (8 + k)/2 \right) -3 = 0$

$k = -52/11$

Como o ponto Q é o ponto médio de PP', concluímos que:

$P' = Q + PQ = ( - \dfrac{8}{11}, \dfrac{79}{11}, - \dfrac{8}{11} )$

Para mais informação sobre distância entre ponto e plano, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/7632858

#SPJ2