Question

o polinomio p(x)= ax3+bx2+cx2+d tem coeficientes dominante unitário e suas raizes sao 7, -5 e -3. qual o valor de a+b+c+d?​

Answer 1

a = 1

b = -(7-5-3)= 1

c = 7•-5 + 7•-3 + -5•-3 = -35 -21+15= -41

d = -(7•-5•-3) = -105

=> a+b+c+d = 1+1-41-105 = -144 ✓

Answer 2

Resposta:

-144

Explicação passo-a-passo:

Podemos fazer de duas Formas.

A primeira é usando a formula fatorada do polinomio.

P(x) = a.(x-x').(x-x'').(x-x''')

Onde x', x'' e x''' são suas raizes e "a" é o coeficiente dominante.

Ja sabemos pelo enunciado que a = 1. E também sabemos as raizes.

P(x) = (x-7).(x+5).(x+3)

Agora basta expandir isso ai.

P(x) = (x² +5x -7x -35).(x+3)

P(x) = (x² -2x -35).(x+3)

P(x) = x³ +3x² -2x² -6x -35x -105

P(x) = x³ + x² -41x -105

De modo que: a = 1, b = 1, c = -41 e d = -105

a+b+c+d = 1 + 1 - 41 - 105

a+b+c+d = -144

Segunda forma de fazer:

Ele diz que o coeficiente dominante vale 1, portanto a = 1.

P(x) = x³ + bx² + cx + d

Por Girard, sabe-se que:

x' + x'' + x''' = -b / a  

7 - 5 - 3 = -b

-b = -1

b = 1

Por Girard, também se sabe que:

x'x'' + x'x''' + x''x''' = c / a

7.(-5) + 7.(-3) + (-5).(-3) = c

c = -35 - 21 + 15

c = -41

Novamente usando Girard, temos:

x'.x''.x''' = -d / a

7.(-3).(-5) = -d

-d = 105

d = -105.

Da mesma forma,

a+b+c+d = -144