Question

Calcular o ponto de inflexão da função y=- x 3 - 6x2

Answer 1

Vemos por meio de derivações que o único ponto de inflexão desta função é quando x = -2.

Explicação passo-a-passo:

Temos então a função:

$y=-x^3-6x^2$

Pontos de inflexão são os pontos onde a curvatura da função deixa de ser voltada para um lado e passa a ser voltado para outro (pra cima ou pra baixo), é mais facil analisar isso tendo em mente que é quando a derivada segunda da função é igual a 0. Então derivando esta função duas vezes:

$y=-x^3-6x^2$

$y'=-3x^2-12x$

$y''=-6x-12$

Agora vamos pegar essa equação da derivada segunda e ver quando ela é igual a 0:

$y''=-6x-12$

$0=-6x-12$

$-6x=12$

x = - 2

Ou seja, o único ponto de inflexão desta função é quando x = -2.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto de inflexão da referida função polinomial do terceiro grau é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I = (-2,\,-16)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função cúbica:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -x^{3} - 6x^{2}\end{gathered}$

Se:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Então:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -x^{3} - 6x^{2}\end{gathered}$

Para encontrar o ponto de inflexão da função devemos:

• Calcular a derivada primeira da função:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = -1\cdot3\cdot x^{3 - 1} - 6\cdot2\cdot x^{2 - 1} = -3x^{2} - 12x\end{gathered}$

• Calcular a derivada segunda da função:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = -3\cdot2\cdot x^{2 - 1} - 12\cdot1\cdot x^{1 - 1} = -6x - 12\end{gathered}$

• Determinar a abscissa do ponto de inflexão.

       A abscissa do ponto de inflexão será sempre o valor numérico de "x" quando a derivada segunda for igual a "0", ou seja:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f''(x) = 0\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6x - 12 = 0\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6x = 12\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = -\frac{12}{6}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = -2\end{gathered}$

• Montar o ponto de inflexão:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} I = (x_{I},\,y_{I})\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (x,\,f(x))\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-2,\,-\left[(-2)^{3}\right] - 6\cdot(-2)^{2})\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-2,\, - \left[-8\right] - 6\cdot4)\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-2,\,8 - 24)\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-2,\,-16)\end{gathered}$

✅ Portanto, o ponto de inflexão da referida função é:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} I = (-2,\,-16)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$