Question

Considere duas bolas (esferas) de tamanhos diferentes. Se soubermos que o volume da maior é 10 vezes o volume da menor, podemos concluir que a área da superfície da bola maior também é igual a 10 vezes a área da bola menor? Por quê?

Answer 1

Resposta:

Não, pois em tal caso, a área da superfície da maior seria apenas 4,64 vezes maior que a área da superfície da menor.

Explicação passo-a-passo:

Olá

No caso das esferas, temos duas informações importantes:

$V_1 = 10\cdot V_2$

"O volume da maior é 10 vezes o volume da menor."

Em tal caso, utilizando as fórmulas de volume:

$\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (r_1)^3 = 10\cdot \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot (r_2)^3$

Admitindo raios diferentes para cada uma delas, podemos fazer uma análise em cima dele

Eliminando os termos que se repetem nos dois lados da equação:

$\dfrac{\not4}{\not3}\cdot\not\pi\cdot (r_1)^3 = 10\cdot\dfrac{\not4}{\not3}\cdot\not\pi\cdot (r_2)^3\\\\\\\\ (r_1)^3 = 10(r_2)^3\\\\\\ \sqrt[3]{(r_1)^3}=\sqrt[3]{10\cdot (r_2)^3}\\\\\\ r_1 = r_2\cdot\sqrt[3]{10}$

Agora, utilizando a fórmula da área da superfície da esfera $4\cdot\pi r^2$, usando os valores que encontramos separadamente

1ª esfera:

$4\cdot\pi \cdot(r_1)^2\\\\\\4\cdot\pi\cdot (r_2\cdot \sqrt[3]{10})^2\\\\\\4\cdot\pi\cdot (r_2)^2\cdot \sqrt[3]{10^2}\\\\\\4\cdot\pi\cdot (r_2)^2\cdot \sqrt[3]{100}$

2ª esfera:

$4\cdot\pi\cdot(r_2)^2$

Em comparação com as duas fórmulas e com o que o enunciado nos pede, devemos substituí-las e comprovar a afirmativa

${A_s}_1 = 10{A_s}_2\\\\\\4\cdot\pi \cdot (r_2)^2\cdot\sqrt[3]{100} = 10\cdot 4\cdot\pi\cdot (r_2)^2$

Eliminando os termos que se repetem nos dois lados da equação:

$\not4\cdot\not\pi \cdot \not{(r_2)^2}\cdot\sqrt[3]{100} = 10\cdot \not4\cdot\not\pi\cdot \not(r_2)^2\\\\\\\sqrt[3]{100} = 10$

Para que a afirmação fosse verdadeira, era necessário que tais valores fossem iguais, porém:

$\sqrt[3]{100} \neq 10$

Portando, a afirmativa é falsa.