Question

31 A figura abaixo apresenta uma semicircunferência de
diâmetro AB com raio igual a V3 e com o ponto C sobre a
semicircunferência.
Semicircunferência com diâmetro AB.
Sabendo-se que o segmento AC mede 3 cm, o comprimento do
arco AC é:​

Answer 1

O comprimento do arco AC é $AC = \frac{2\pi \sqrt{3}}{3}$ cm.

Considere que O é o centro da semicircunferência. Então, temos AO = OB = √3 cm.

Ao traçarmos o segmento CO, temos que CO = √3 cm, pois é raio.

Agora, observe o triângulo AOC. Vamos chamar de x o ângulo AOC. Sendo AC = 3 cm, temos que, pela Lei dos Cossenos:

3² = (√3)² + (√3)² - 2.√3.√3.cos(x)

9 = 3 + 3 - 2.3.cos(x)

9 = 6 - 6.cos(x)

3 = -6.cos(x)

cos(x) = -3/6

cos(x) = -1/2

ou seja, x = 120°.

Como a medida de um arco de circunferência é igual ao ângulo correspondente e x corresponde ao arco AC, então AC = 120° = 2π/3.

Para calcularmos o comprimento de AC utilizaremos a fórmula: x = AC/r.

Portanto,

$AC = \frac{2\pi \sqrt{3}}{3}$.