Question

Dada a seguinte integral dupla em coordenadas polares:





Assinale a alternativa que traz a solução correta:


a. 4pi


b. pi/4


c. 3pi


d. 2pi


e. 2pi/3

Answer 1

Integrando normalmente o resultado desta integral é 2π.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte integral:

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\int\limits^4_0 {r.dr.d\theta}$

Como a diferencial "dr" vem antes, então vamos fazer primeiro a integral em r:

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 [\int\limits^4_0 {r.dr].d\theta}$

$\int\limits^4_0 {r.dr}$

Integrando normalmente na variável escolhida em questão:

$[\frac{r^2}{2}]\limits^4_0$

$[\frac{4^2}{2}-\frac{0^2}{2}]$

$\frac{4^2}{2}$

$\frac{16}{2}$

$8$

Voltando este resultado para a integral dupla, podemos resolver do seguinte modo:

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 [\int\limits^4_0 {r.dr].d\theta}$

$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {8.d\theta}$

$8\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {d\theta}$

Integrando normalmente pela segunda vez novamente pela variável em questão:

$8\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {d\theta}$

$8[\theta]\limits^{\frac{\pi}{4}}_0$

$8[\frac{\pi}{4}}-0]$

$8.\frac{\pi}{4}}$

$2\pi$

Assim após estas integrações em caminho temos que o resultado desta integral é 2π.