Question

1) Um automóvel que viaja à razão de 30m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel

está a 120m, um caminhão que viaja à razão de 40m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o

caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com que velocidade se

afastam o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento?

R:

​

Answer 1

Utilizando derivada implicita temos que os dois automoveis se separam a uma taxa de 14 m/s.

Explicação passo-a-passo:

Note que se queremos saber isto depois de 2s, então o automovel não estará mais a 120 m do cruzamento, ele estará a 60 m do cruzamento, pois se passaem 60m depois de 2s a 30m/s.

E como o caminhão está se afastando a 40 m/s, então depois de 2s eles estará a 80m de distancia do cruzamento.

Podemos ver isto melhor na imagem em anexo, onde A é o automovel e C o caminhão.

Marquei na imagem também a distancia entre eles como sendo a hipotenusa "s" deste cruzamento. Assim temos que a seguinte relação:

$s^2=a^2+c^2$

Onde "a" é a distancia do automovel ate o centro e "c" a distancia do caminhão até o centro.

Derivando esta relação implicitamente em relação ao tempo:

$s^2=a^2+c^2$

$2s\frac{ds}{dt}=2a\frac{da}{dt}+2c\frac{dc}{dt}$

A derivada de "a" é a propria velocidade de a, que neste caso é -30 m/s (negativo, pois esta diminuindo a distancia), e a derivada de c é 40 m/s, e já sabemos os valores de a e c no momento, assim como o de "s" também, pois este éa hipotenusa que vale 100 m utilizando pitagoras. Então substituindo estes valores:

$2s\frac{ds}{dt}=2a\frac{da}{dt}+2c\frac{dc}{dt}$

$2.100\frac{ds}{dt}=2.60.-30+2.80.40$

$200\frac{ds}{dt}=-3600+6400$

$200\frac{ds}{dt}=2800$

$\frac{ds}{dt}=14$

Então neste caso os dois automoveis se separam a uma taxa de 14 m/s.