Question

Um poliedro convexo é constituído somente por faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Sabe-se que o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares mais dois e que o número de faces pentagonais é igual ao número de faces quadrangulares menos dois. Além disso, o número de vértices é o quádruplo do número de faces pentagonais. Determine a soma do número de vértices, de faces e de arestas deste poliedro. ​

Answer 1

A soma do número de vértices, de faces e de arestas deste poliedro é igual a 94.

Considere que:

F3 = faces triangulares

F4 = faces quadrangulares

F5 = faces pentagonais.

Então, o total de faces é igual a F = F3 + F4 + F5.

Com as informações do enunciado, temos que:

F3 = F4 + 2

F5 = F4 - 2

V = 4F5.

O número de arestas é dado por:

2A = 3F3 + 4F4 + 5F5.

Logo,

2A = 3(F4 + 2) + 4F4 + 5(F4 - 2)

2A = 3F4 + 6 + 4F4 + 5F4 - 10

2A = 12F4 - 4

A = 6F4 - 2.

Já o número de faces será:

F = F4 + 2 + F4 + F4 - 2

F = 3F4

e o número de vértices será:

V = 4(F4 - 2)

V = 4F4 - 8.

Pela Relação de Euler, temos que V + F = A + 2.

Portanto,

4F4 - 8 + 3F4 = 6F4 - 2 + 2

7F4 - 8 = 6F4

F4 = 8.

Logo,

A = 6.8 - 2 = 46

F = 3.8 = 24

V = 4.8 - 8 = 24.

A soma é igual a: 46 + 24 + 24 = 94.