Question

Na figura abaixo, o ∆ABC é equilátero, e x, y e z são medidas dos ângulos indicados. Observe atentamente e prove que o ∆MNP também é equilátero.​

Answer 1

Podemos provar com o estudo dos ângulos internos dos triângulos. Além de se ter todos os lados iguais, outra característica do triângulo equilátero é ter todos 3 os ângulos internos iguais a 60°. Em anexo consta a representação da figura, mas com uma nomenclatura para cada ângulo para facilitar a visualização. Sendo o triângulo ABC equilátero, temos:

a = 60°, b = 60° e c = 60°

Devemos achar os valores dos ângulos internos do triângulo MNP, ou seja, os valores de x, y e z.

Podemos perceber que existem 3 triângulos retângulos na figura, ou seja, triângulos que possuem ângulo de 90°. Precisamos achar os valores de m, n e p.

1) Ângulos internos do triângulo BPM

Sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a 180°, temos:

b + m + 90° = 180°

60° + m + 90° = 180°

150° + m = 180°

m = 180° - 150°

m = 30°

2) Ângulos internos do triângulo MNA:

90° + 60° + n = 180°

n = 180° - 150°

n = 30°

3) Ângulos internos do triângulo NCP

90° + 60° + p = 180°

p = 180° - 150°

p = 30°

Temos então que:

m = 30°, n = 30° e p = 30°

Os ângulos m e x formam junto com o ângulo reto do vértice M um ângulo raso, ou seja, um ângulo de 180°. Assim:

m + x + 90° =180°

Substituindo o valor de m:

30° + x + 90° = 180°

120° + x = 180°

x = 180° - 120°

x = 60°

Os ângulos n, y e o ângulo reto do vértice N também formam um ângulo raso. Logo:

n + y + 90° = 180°

Substituindo o valor de n:

30° + y + 90° = 180°

y = 180° - 120°

y = 60°

Os ângulos z, p e o ângulo reto do vértice Park também formam um ângulo reto. Então:

z + p + 90° = 180°

Substituindo o valor de p:

30° + z + 90° = 180°

120° + z = 180°

z = 180° - 120°

z = 60°

Descobrimos que:

x = 60°, y = 60° e z= 60°

Sendo x, y e z ângulos internos do triângulo MNP e todos os ângulos são iguais a 60°, logo o triângulo MNP é equilátero.

Espero ter ajudado :)