Question

Um número complexo z é da forma a+bi , em que a,b ∈ ℝ e i= √−1 denota unidade imaginária, e i² = −1.

Dado o número complexo z = 1/2+ √3/2 i

assinale a alternativa que corresponde ao valor de z elevado a 6


(A) −1

(B) 1/2

(C) √3

(D) 1

(E) 1 +



OBS: Sei que a resposta correta e a letra (D), Porem gostaria de saber como desenvolver a questão ate esta resposta.

Answer 1

Para podermos encontrar o valor de $\mathsf{z^6}$, vamos de início escrever o número complexo $\mathsf{z}$ em sua forma trigonométrica. Para tanto, necessitamos do módulo de $\mathsf{z}$ e do argumento principal de z.

• Módulo:

$\mathsf{|z|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}} \implies \mathsf{|z|= 1}$

• Argumento principal de z ($\theta$):

Temos:

$\mathsf{cos \theta= \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}= \dfrac{1}{2}}$

e

$\mathsf{sen \theta= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Daí, $\mathsf{ \theta= \dfrac{\pi}{3}}.$

Portanto, a forma trigonométrica de z é:

$\mathsf{z = |z| (cos \theta + i \cdot sen \theta)} \implies \\ \implies \mathsf{z = cos \dfrac{\pi}{3} + i \cdot sen \dfrac{ \pi}{3} }$

Assim, usando a primeira fórmula de Moivre, vem:

$\mathsf{z^{6}=cos \left(6\cdot \dfrac{\pi}{3}\right) + sen \left(6 \cdot \dfrac{\pi}{3}\right)} \implies \\ \implies \mathsf{z^{6}= cos 2\pi + i \cdot sen 2\pi} \implies \\ \implies \mathsf{z^{6}=1 +0 =1}$

Logo, $\mathsf{z^6 = 1}.$