Dado um paralelogramo X formado pelo vetores u (-1, 3, 4) e u(2, 1, 3). Determine um vetor W tal que o mesmo forme um paralelepípedo cujo a base é o paralelogramo X e possua altura W =3. U. C.
Respostas
O vetor w poderá ser w = (-√3,-√3,√3) ou w = (√3,√3,-√3).
Temos que v = (2,1,3).
Vamos considerar que o vetor w seja w = (x,y,z).
Se a base do paralelepípedo será o paralelogramo formado pelos vetores u e v e w será a altura, então os vetores u e w, v e w são perpendiculares.
Sendo assim, o produto interno será igual a 0.
Ou seja,
<u,w> = 0
x + 3y + 4z = 0
e
<v,w> = 0
2x + y + 3z = 0.
Além disso, o tamanho do vetor w é igual a 3. Logo,
x² + y² + z² = 9.
De 2x + y + 3z = 0, podemos dizer que y = -2x - 3z.
Substituindo na segunda equação:
x + 3(-2x - 3z) + 4z = 0
x - 6x - 9z + 4z = 0
-5x - 5z = 0
x = -z.
Assim,
y = -2(-z) - 3z
y = 2z - 3z
y = -z.
Substituindo os valores de x e y na terceira equação:
(-z)² + (-z)² + z² = 9
3z² = 9
z² = 3
z = √3 ou z = -√3.
Portanto, w = (-√3,-√3,√3) ou w = (√3,√3,-√3).