Question

Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20m de comprimento

por 16m de largura para construir um jardim. Este canteiro deve ter a forma

elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-la serão

colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse.

Qual será a distância entre os aspersores?​

Answer 1

Utilizando as formulações de elipses podemos descorbrir que os aspersores estão 12m de distancia um do outro.

Explicação passo-a-passo:

Toda elipse é dada pela equação:

$\frac{(x-xc)^2}{a^2}+\frac{(y-yc)^2}{b^2}=1$

Onde xc e yc são as coordenadas do centro da elipse. Vou considerar que o centro da elipse fica no 0,0 para facilitar nossas contas:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

E os valores "a" e "b" são respectivamente, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor.

Nesta questão ela dispõe de 20 m de comprimento, ou seja, a distancia de uma ponto a outro não pode ser maior que 20 m, então como o semi-eixo maior é metade da distancia de um ponto a outro, então "a" = 10m.

A mesma analise será feita para "b", considerando que a largura é 16 m, então "b" = 8 m.

Em elipses existe ainda o valor "c" que é a distancia do centro da elipse ao foco, e temos a seguinte relação para "c":

a² = b² + c²

E como já sabemos "a" e "b":

10² = 8² + c²

100 = 64 + c²

c² = 36

c = 6

Então a distancia de um dos focos ao centro é 6m, então a distancia de um foco a outro é duas vezes essas distancia, 12 m.

Assim os aspersores estão 12m de distancia um do outro.